rt)! (2n!)i! (2/1 — 2)!3! 21(2/1— i
Or, on est conduit à la même formule en égalant les coefficients de .tp--" dans les deux membres de l'équation fonctionnelle (2) : ^p{j.) — ?p(J' — •) = •'^■''> Des propriétés ci-dessus résulte l'égalité
?..p(^)= i" + ^" + - + («-')" + ""=^^T^ + T -^^'tI^""'
d'où la congruence indiquée.
moyen de produits et quotients d'unités du corps circulaire c(X), un système de /* unités £,, ..., £^. vérifiant les T congruences
où a,, a,, ..., a,, sont des entiers rationnels non divisibles par /, et où on a posé À=i — u, I = (X). [Kumme^'^]
Démonstration. — Partons de funité circulaire (v. S 98)
,.^\ /(i-0(i-ro
où r est une racine primitive mod /. Posons ensuite î'~' = r, et
(109) tt — r/''*-^) <'•*-*) C"-') - (r«'-*-*)(r«' -»-s)(r»'-*-s) ... (r'-»-s)
pour /= I, 2, 3, ..., r, où s est dans l'exposant symbolique la substitution ^^((^ ; CO- L'unité r^, (l — i)'^"» puissance d'un entier de c(Q, est nécessairement^ 1, mod ï,
et il en est alors de même de chacune des unités e^.
Supposons formés conformément au paragraphe i3i les polynômes adjoints s/a?)
pour chaque unité c^; on a pour les nombres rationnels
c'est-à-dire, pour les valeurs des / — 2 premières dérivées du logarithme de cj(e'') pour u = o, les congruences
/*"'(£,) = 0, (mod/),
(« = 1, 2, 3, ..., it—i, it+i, ..., 1—3, i—î).
Pour le démontrer, observons que d'après la première formule (81)', paragraphe i3i, on peut, dans le calcul des / — 2 premières dérivées
/"'(vi), /'•»(r.), ..., /"-'(t.),
relatives au nombre rj, prendre directement, au lieu du polynôme adjoint à y,, le polynôme suivant :
Fac. de T., 3e S., II. 49
Puis on a le développement connu
log =4- -i' + -^ — 7-77^^ +FT7"
où B, , Bj, B3, ... sont les nombres de Bernoulli. De ce développement, résulte
-('•'-■^rli "' + ('■•-■> ai"'--!
Les fonctions Y;(e'''')' ^X^*^'')' • •• jouent le même rôle par rapport aux nombres STj, s\, ... que Y;(e'') par rapport à r,. En remplaçant alors dans l'expression (109) de £,, Y), 5Y), s\ ... par r/O' "^.(O- ti^''"')' on obtient une fonction \{e''), qui peut tenir
lieu de la fonction e/e") pour le calcul de /"*(£,), /'*'(0 /""**(s,). De (m) on
tire(i)
logs,(0 = (^- i)|c + (-iy(r*-0(r*-r*V-
où C, C,,, C, ,, .... désignent certaines constantes. Le produit écrit en détail dans le coefficient de y*' est
rd(x-i)(x-r')...(x-r'-')-]
L dx J (a;=r20
et le polynôme à dériver ci-dessus est ^ a? - — i , mod /. Le développement ci-dessus entraîne immédiatement les congruences (no).
Comme par hypothèse les numérateurs des l* premiers nombres de Bernoulli B,, ... , B,. ne sont pas divisibles par /, les T dérivées /'*''(£,) pour /= i, 2, ... , /* sont
(>) N. T. — En représentant, en effet, l'exposîint de r^ dans s, par f[s) = a^ + a^s + ... + +a,.is'*-S on a f{r-"} = o pour u— i, 2, ..., / — i, / + i, ..., /*. De sorte que, vu
log è(e") = a^ log f,(e'') + a, log r,(0 -f ... + a,«, log f,(/ ")'
on a pour coefficient de y'^"
c'est-à-dire o pour les valeurs de « de i à /', à l'exception de n^=f.
toutes EJEo, mod /, d'après (no). Nous en concluons qu'aucune des unités e,, ..., £,. n'est ^ i, mod /. En posant alors
avec des exposants e, , ..., e,. tels que a,, ..., a^. soient des entiers non divisibles par /, ces exposants e^, ..., e^, sont tous <Cl — i- Puis on tire des congruences (112), le développement d'une expression (1 — e*)" suivant les puissances de v commençant par le terme ( — i)V, les congruences suivantes pour l'unité s^ :
/<"(c,) = G , /'*'(£,) = 0, . . . , /•''-" (e,) = o, (mod /) , /'^"(£,) = (-i)^'a,.e,!, - (mod/),
et comme a^ ne doit pas être divisible par /, on tire des congruences (no), vu la remarque faite plus haut, e^^^ a/, ce qui démontre le lemme 29.
S iSg. — Critérilm pour les nombres premiers réguliers.
Voici un critérium simple pour les nombres premiers réguliers /.
Théorème i54. — Pour qu'un nombre premier / soit régulier, il faut et il suffit
qu'il ne divise le numérateur d'aucun des /"= premiers nombres de Bernoulli.
[Kummer*.]
Démonstration. — Le lemme 28 montre que, si / divise le numérateur d'un des /* premiers nombres de Bernoulli, / divise aussi le nombre de classes h du corps c(Ç). Dans le cas contraire, / est, toujours d'après ce lemme, premier au premier facteur du nombre de classes. Il y a donc encore seulement à démontrer que le second facteur du nombre de classes h n'est pas non plus divisible par / lorsque l'un des T premiers nombres de Bernoulli ne l'est pas.
Soit Y, Y,, un système de 1* unités réelles de c(Q, système qui existe toujours
d'après le théorème 127; nous pouvons alors poser
/ .o\ „t mil nui tniai
(ri3) *^ = T, 'rr •••V/« '
pourf=:o, i, 2, ..., /* — I, les exposants m, ^, m^^, ..., W/.^ étant des entiers rationnels et £ l'unité circulaire définie lormule (108). On tire de (i i3)
(II 4) log |s'£l =:m,,log IyJ + m^^log |yJ -F ... -t- m^.^log |Yr|
D. lULBERT.
pour t = o, I, 2, ..., /• — I, log représentant la partie réelle du logarithme. D'autre part, les égalités (109) définissant les unités $,, ..., e^. entraînent un système de la forme
(ii5)
Nous en lirons les égalités (116) log£, = /i,,log|s| -{-n^,log\se\ + ... + n,«,log l^'^-'ej,
et ensuite, à cause de (ii4).
log£, = M,,log|yJ + M.,log|yJ + ... +M,«,log|y,«I, (t = 1, 2, ..., /«)
OÙ M,^, Mj,, ..., Mi'i sont les combinaisons bilinéaires connues des 2/*^ entiers «„, n,, , ..., ni-^f-, m^g, m^,, ..., mt-^r- Les systèmes (ii3) et (ii5) en donnent encore chacun T — i, si l'on effectue sur les unités qui y figurent les substitutions s, s*, ... , *'*"*. En prenant les logarithmes, nous passons de même aux systèmes correspondant
à (ii/j), (116) et (117).
En posant alors
log |syj , R =
log |y,«| log|sy^«
log js'"-'
log|s|, log \s-\ ,
YJ
log |S£|
logr l.<f*c
logl^'^-'Y,*
log |s"'— Ul logk'^el
log 1^'*""
log c, .
log SZ, ,
log \s''-i\ log s,
log \s""
log £^« log *£,«
log .Ç'*""'
on trouve, par la règle de multiplication des déterminants,
