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THKORIE DES CORPS DE NOMBRES ALGEBRIQUES. ii8()

Le déterminant du second membre est un entier rationnel et il n'est pas divisible par /. Car, dans le cas contraire, on pourrait trouver Rentiers N^, ..., N/-, non tous divisibles par / et rendant divisibles par / toutes les sommes

On obtiendrait alors, vu (117), une égalité de la forme

N.logc, 4- N.logs.+ ...+N,« log £,« = /. logE. où E serait une certaine unité positive de c(Ç). D'où

Mais une telle égalité est impossible. Car on en tirerait d'abord E ^E'^ i, niod (; en considérant le polynôme adjoint E(x) et les valeurs pour t' = o des / — 2 premières dérivées de log E(0' on déduirait de (119), en appliquant (iio) les congruences

{t = i,2, ..., le)

Mais tous les nombres de Bernoulli B^, ..., B^. doivent être premiers à /, tandis que

les nombres N, , ..., N,. ne sont pas tous divisibles par /; il y a donc contradiction.

Ainsi le déterminant du second membre de (i 18) n'est pas divisible par /. Comme,

d'autre part, les facteurs — et -5- sont toujours entiers et que — - représente le se-

cond facteur du nombre de classes h, le second facteur du nombre de classes n'est donc pas non plus divisible par /. Le théorème i54 est ainsi complètement démontré.

En s'appuyant sur ce théorème, on voit, d'après les valeurs des 47 premiers nombres de Bernoulli, qu'en dehors de 87, 69 et 67 tous les nombres premiers inférieurs à loo sont réguliers. Le calcul montre, d'ailleurs, que les nombres de classes h rela-

tifs aux corps c\e ' ) pour /=37, 69 et 67 ne sont divisibles que par / et non par /*. [Rummer "'*•*.]

S i4o. — Système particulier d'usités indépendantes d'un corps circllaire