RÉGULIER
Le paragraphe 189 nous fournit le moyen de déterminer dans un corps circulaire régulier un système d'unités qui nous sera utile dans la suite.
Théorème i55. — /étant un nombre premier régulier, il existe toujours dans le
'^C)0 D. IlILBERT.
corps circulaire cVe ' / un svstème de /* = unités indépendantes,
£^« vérifiant les congruences
Démonstration. — c(Q étant régulier, les numérateurs des t* premiers nombres de Bernoulli sont tous premiers à /, et il existe par suite (lemme 29) /* unités e, , ..., e^e vérifiant les congruences (107). Comme a^ a^ sont premiers à /, nous pouvons déterminer /* entiers 6, , ... , 6,« tels que l'on ait
a^b^^ i Uiob^st^ I , (niod /).
En posant alors
les unités 1,, ..., i,o vérifient les congruences du théorème i55.
De plus, elles forment un système d'unités indépendantes, parce que les unités £, , ... , $^« du paragraphe i38 en forment un. Pour montrer ce dernier point, supposons au contraire qu'il existe ime égalité
( 1 20) e{< ... îjr = I ,
les exposants étant des entiers non tous nuls; on peut supposer ensuite que ces exposants ne sont pas tous divisibles par /, car, dans le cas contraire, on aurait
(^es exposants n'étant pas tous divisibles par /, l'équation 120 serait de la même forme que (119) qui a été déjà reconnue impossible au paragraphe 139.
§ i^i. — Propriété caractéristique des umtés d'un corps circulaire régulier.
Théorème i56. — / étant un nombre premier régulier, s'il existe dans le
corps c\e~ ) une unité E congrue mod / à un entier rationnel, elle est nécessairement égale à la /''""' puissance d'une unité de ce corps. [Kummer*.]
Démonstration. — Supposons déterminé un système d'unités ?,, ..., T^a conformément au théorème i55; comme elles sont indépendantes, on a
e, e^, ... , ^,« étant des entiers rationnels non tous nuls, et l'on voit de suite qu'ils peuvent aussi être supposés non tous ^o, mod /(^). Alors si e était divisible par /, l'égalité (i2i) serait de la forme (119), qui est impossible. Si, au contraire, e n'était pas divisible par /, on aurait E*^ i, mod ï, et, par suite, ^ i, mod /; prenons alors la dérivée logarithmique des polynômes adjoints des deux membres de (121). Comme E* étant ^i, mod /, les nombres P(E^) sont tous^o, mod / pourg<il — i, il en
résulte, en prenant g^a, It 2/*, et tenant compte des valeurs des nombres
/*"*(£,) /'*'(£,«), et de (iio), que l'on a successivement e, = o e^«^o, mod /;
on a donc E*= H^ H étant une certaine unité du corps, e n'étant pas divisible par /. En déterminant alors deux nombres a et b, tels que ae + 6/= i, on a
e-=(h"eY,
ce qui démontre le théorème i56.
On est conduit par les considérations suivantes à une démonstration tout à fait différente de ce théorème.
Si E n'était pas égale à la Z'^""* puissance d'une unité de cÇQ, H = E'"' ne pourrait l'être non plus; car i — s et r 4-5+ ... + s'~* sont deux polynômes à coefficients entiers en s sans diviseur commun mod /. Mais si E est congru mod l h un entier rationnel, on a H^ i. niod V, ce qui, vu la deuxième partie du théorème i48, exigerait que le corps kummerien c(v/h. C) ait le discriminant relatif i par rapport à c(t). Mais comme ce corps kummerien est abélien relatif de degré relatif / par rapport à cÇÇ), le théorème 94 exigerait que le nombre des classes d'idéaux du corps circulaire c(0 fût divisible par /, contrairement à l'hypothèse qu'il est régulier.
S 143. — Nombres primaires d'un corps circulaire régulier.
Un entier a du corps circulaire régulier c(u) est dit primaire : i° s'il est semi-primaire (voir S ii5) et 2° si le carré de son module, c'est-à-dire son produit par le
nombre imaginaire conjugué ^"^"a, est congru à un entier rationnel mod l'~'= /. Un nombre primaire est donc toujours premier à I et vérifie les congruences
a.5~'a = 6, (I'-'), a et 6 étant des entiers rationnels. [Kummer *^]
(1) N. T. — Eq effet, dans le cas contraire, en extrayant la racine /'«"'". on aurait E*'=^*£/'i ... lj««'/«, et E*' étant cona^riie, mod /, à un entier rationnel, et les unités =,, élant réelles, on aurait, la congruence devant subsister qu.ind on change Ç en Ç-' ,
^*=r*- (mod/), c'est-à-dire k^o, (mod/), et en continuant ainsi, tant que les exposants sont tous divisibles par /, OQ arrive bien finalement à une égalité (121).
Théorème 157. — Dans un corps circulaire régulier c(ç), on obtient un nombre primaire en multipliant un entier quelconque premier à t par une unité convenable. [Kiimmer ^-.] , .
Démonstration. — Le nombre p^a.s - a est évidemment un nombre du souscorps de degré du corps c(Q et vérifie par suite une congruence S^a, mod I*,
a étant un entier rationnel non divisible par /. Soient I^, ï^, ..., i^a les l* unités du paragraphe i4o. Si on a, par exemple, /S^a + a^X*, mod ï*, a, étant un entier rationnel, on déterminera un entier rationnel m,, tel que l'on ait aaa, + «,^0, mod /; alors on a nécessairement
Si l'on a ensuite, par exemple, Pi,^"i ^a + a/*, mod (V), a^ étant un entier rationnel, on déterminera un entier u^, tel que l'on ait aaWj, + ^/.^^o, mod /; on a dès lors
On arrive finalement à
pif' li"' . . . f,T = [il* = a , (mod I'-) .
Si, d'autre part, '^* est une puissance de l, telle. que ^*a soit semi-primaire, i^*la sera évidemment primaire.
Un nombre primaire réel est toujours congru, mod Z=I'~', à un entier rationnel. D'après le théorème i56, toute unité primaire de c(!^) est la /''''"^ puissance d'une unité de c(r)-
\ oici encore un lemme sur les nombres primaires qui sera utile dans la suite.
Lemme 3o. — V, [j. étant d3ux nombres primaires du corps circulaire régulier c(Q, on a touiours {— ;— > = i .
Démonstration. — Nous pouvons supposer les deux nombres v, p. ^ i, mod t, car autrement leurs (/ — i)'^'"^^ puissances rempliraient sûrement cette condition, et à
cause de -— ^ } =
D'après (83), on a
cause de -y- | = ^ ^ — ( (voir S i3r), on pourrait les substituer à v et p.
V, y, ) ( V, 5 ^ p. ] \^, fJ..S '^ u.)
et comme par hypothèse on a u..s - jj. ^ i, mod t'~', et que v ^ i, mod V, on tire
(v ULi (v tX-5'^u}
immédiatement de la définition générale (82) du symbole \--j-[ '• ] ' ' -\ = i,
et, par suite.
j V. U,] ( V, * * [Jl.)
On démontre de même que
Puis de la formule (8li) on tire
iv, \t.1 i.S ^ y. s - ix)
Les trois dernières égalités donnent
YUi, c-à-d. Y='- ^•^•^•^•
