CHAPITRE XXXII

Classes d'idéaux invariantes (') et genres d'un corps kummerien régulier.

S 143. — Familles d'unités d'un corps circulaire régulier.

Soit / un nombre premier impair régulier, et considérons dans le corps circulaire

régulier c\i;z=e~) un ensemble E d'unités contenant les /'*''"''* puissances de toutes les unités du corps et tel, de plus, que le produit et le quotient de deux unités quelconques de l'ensemble en fasse encore partie. On appellera un tel ensemble une famille d'unités du corps circulaire c(Ç).

Dans toute famille, on peut déterminer m unités z^, ..., s,„ telles que toute unité de la famille est représentée une fois et une seule par l'expression

lorsqu'on donne à chacun des exposants u,, ..., m„, , les valeurs o, 1, ..., / — i et où l est une unité quelconque de c(Ç). J'appellerai un tel système s,, ..., e,„ base de la famille. Il est clair qu'on ne peut avoir

(') Ou ainbiges.

Fac. de T., 3e S., II. 5o

e^ ^„, étant des entiers rationnels non tous divisibles par / et e une unité de c(Ç).

On voit aisément que toule autre base de la famille E comprend le même nombre in d'unités; ce nombre m s'appellera le degré de la famille d'unités.

Si, en particulier, une famille d'unités ne contient que les /'''""■** puissances d'unités de c(Ç), elle contient le plus petit nombre possible d'unités et son degré est o. La totalité des unités de c(Ç) est aussi une famille d'unités; toute unité de c(ç) est (théorème 127) le produit d'une racine /'*''"* de l'unité et d'une unité réelle : on conclut de là et des développements de la démonstration du théorème 157 que les unités i, , ... , i/--3 du paragraphe iZ|0 forment avec Ç une base de cette famille d unités, qui est

la plus étendue. Son degré est donc ; c'est évidemment la seule famille de

degré et il n'y en a pas de degré plus élevé.

On voit facilement que les normes relatives de toutes les unités d'un corps kumrnerien c(v [x, ç) déduit de c(Ç) forment un€ famille d'unités de c(Ç); enfin, la totalité dos unités égales à des normes relatives, soit d'unités, soit de fractions du corps kummerien c{\/[j., ç), forment une famille d'unités de c(Ç).

§ i44- — Idéaux invariants (^), classes d'idéaux invariantes (^) d'un corps

KUMMERIEN RÉGULIER.

Soit c(Ç) un corps circulaire régulier, \). un entier de c(^), qui ne soit pas puissance l''"'" d'un nombre de c{Q; soit C le corps kummerien régulier c(M' '0 engendré par f\J\ = \/^ et u. Cherchons maintenant à développer la théorie de ce corps par des méthodes correspondant à celles qu'on a employées pour le corps quadratique dans les chapitres xvii et xviii.

Le groupe relatif de C par rapport à c(l) est formé de puissances de la substitution S = (|V|. CM); on appellera, d'après le paragraphe 67, un idéal 51 de G idéal invariant(^). quand la substitution S le laissera invariant, S3l = 3l, et que, de plus, 51 ne contiendra en facteurs aucun idéal de c(Ç) différant de i.

D'après le théorème 98, les idéaux premiers qui divisent le discriminant relatif de C sont tous invariants, et il n'y a pas d'autres idéavix invariants. 2ï étant donc un

C) L'expression de M. Hilbert est ambig. Selon une remarque de M. E, Cahen, l'oriai'ine de ce mot remonte à la traduction, par Poulet-Delisie, des Disquisitiones afithméticae : il traduit par ambigu le mot anceps , employé par Gauss dans sa théorie des formes quadratiques. M. Lévy, vu l'acception habituelle difFérente du mol ambigu, a employé le mot ambige dans ses traductions de l'ouvrage de Sommer et des trois premières parties de l'ouvrage actuel. M. de la Vallée-Poussin emploie le mot bilatère. Je propose inrarianf, qui a l'avantage de rappeler la définition des classes dont il s'agit. . •

THÉORIE DES CORPS DE NOMBRIiS ALGEBRIQUES. 3()5

idéal invariant quelconque de C, nous déduisons facilement de S5l = 5ï (voir S 78) que tout idéal premier de C qui divise 51 doit aussi être invariant, et il en résulte que le nombre de tous les idéaux invariants est /'.

^ étant un idéal d'une classe K du corps de Kummer C, la classe d'idéaux déterminée par l'idéal conjugué relatifs^ sera représentée par SK. Les classes SK, S*K, ... , S'~*K s'appelleront les classes conjuguées relatives de K. F(S) étant un polynôme quelconque de degré / — i en S à coefficients a, a,, ... , aj, entiers rationnels :

F(S) = a 4- a.S + ... + «,, S'-' la classe déterminée par l'expression

K" (SK)"^ (S* K)"2 . . . (S'-' K)"'-' , s'appellera la puissance symbolique F (S) de la classe K et se représentera par

Enfin, une classe d'idéaux A du corps kummerien sera dite classe amhige ou invariante lorsqu'on aura A = SA, c'es'.-à-dire A'-^= i. La /'■'""' puissance d'une classe ambige quelconque contient toujours parmi ses idéaux des idéaux de c(Ç). Cela résulte immédiatement de ce que l'on a

\' — ^i+s+s^^- ... +SI-'

à cause de \ = SA et que, d'autre part, la norme relative d'un idéal quelconque de C est un idéal de c(Q.

§ 145. — Famille de classes dans lm corps kummeriex régulier.

Considérons dans le corps kummerien régulier C un ensemble de classes, tel que la /'■^""^ puissance de chacune d'elles contienne des idéaux de c{Z) et que, de plus, il contienne toutes les classes contenant des idéaux de cÇÇ); tel, de plus, que le produit et le quotient de deux classes de l'ensemble en fassent encore partie. J'appellerai un tel ensemble une famille de classes du corps kummerien. Dans toute famille de classes, on peut toujours déterminer n classes K^, ..., K,^, telles que toute classe de la famille est représentée une fois, et une seule, par le produit

lorsque u^, u^, ... , u,^ prennent séparément les valeurs 0,1 / — i, et A- désignant

une quelconque des classes renfermant parmi ses idéaux des idéaux de cil)- On appellera Kj, ... , K,j une base de la famille de classes. On montre facilement que le nombre de classes de toute autre base de la famille est encore égal à n. Ce nombre n sera lé degré de la famille de classes.

Sgfi D. HILBERT.

Si toutes les classes d'une famille contiennent des idéaux de c(Q, elle est de degré o. Une autre famille de classes est encore formée parla totalité des classes de C contenant soit des idéaux invariants de C, soit des produits de tels idéaux par des idéaux de c(Q. Enfin, la totalité des classes invariantes du corps kummerien forme une famille.

S i46. — Deux lemmes généraux sur les unités fondamentales relatives d'un corps cyclique relatif de degré premier impair.

Avant de poursuivre les recherches du précédent paragraphe, établissons deux lemmes se rattachant au théorème 91 du paragraphe 55.

Lemme 3i. — Soit / premier impair le degré relatif d'un corps C cyclique relatif par rapport à un sous-corps c, soit S une substitution autre que la substitution identique du groupe relatif de C par rapport à c, et soit H,. •••. H^-^, un système d'unités fondamentales relatives du corps C par rapport à c; on a dès lors pour toute unité E de C une relation de la forme

/étant un exposant entier rationnel non divisible par /, F,(S), ..., F^j,(S)des polynômes entiers en S de degré (7 — 2) à coefficients entiers et [e] une unité de C dont la P™*' puissance appartient à c.

Démonstration. — De la démonstration du théorème 91 résulte que les unités