H, H^.. SH, SH,, S'-*H S'-^H
jointes à r unités fondamentales du corps c sont indépendantes, et comme il y en a en tout /(r + 0 — i, il existe pour toute unité E de C des relations de la forme
où G(S), G,(S), ..., G^j(S) sont des polynômes entiers en S de degré / — 2 a coefficients entiers, dont le premier n'est pas identiquement nul, et où [e] est une unité de C telle que [e]' est dans c. Parmi les relations (122) en nombre infini, prenons-en une où G(Q soit divisible par une puissance de i — Z aussi petite que possible. Admettons que ce soit précisément la relation (122); supposons, de plus, d'abord que GÇÇ) soit au moins divisible par i — Z. D'après la définition des unités fondamentales, paragraphe 55, il faut que
THIÎORIE DES CORPS DE NOMBRES ALGKPRIQUES. 897
soient aussi divisibles par i — Z. En élevant (122) à la puissance symbolique
(i— S*) (1— S') ... (i— S'-')etenposant
on trouve facilement, la (i + S + S* + ... + S'"*)'^"^ puissance symbolique de toute unité de G étant dans c :
(123) E'^"='^' = Hfï«^'...H;îr'-""w.
où [s] est encore une unité de c ou la racine /'^™*^ d'une unité de c.
A cause de l'égalité (128), une racine /'^"^ de ce nombre [s] est certainement un nombre de C, et par suite aussi une unité de C dont la /"'^""^ puissance appartient à c, et qu'on désignera encore par [s] ; on lire alors de (128)
:Ge(S)
[s] étant encore une unité de C dont la /'^"'« puissance est dans c. Cette égalité est de la même forme que (122), sauf que G*(;^) serait divisible par une puissance de i — ^ inférieure à celle qui divise G(^), ce qui est contradictoire à notre hypothèse sur le choix de (122). Donc G(v) ne peut être divisible par i — Ç.
En posant /=G(w)G(^*) ... G(s'~'), /est un entier rationnel non divisible par /. et il existe évidemment deux polynômes entiers H(S), M(S) à coefficients entiers, vérifiant identiquement en S l'égalité
En élevant (122) à la H (S)''™" puissance symbolique on obtient la formule annoncée dans le lemme 3i.
Lemme 82. — Conservons les mêmes notations que dans le lemme 3i, prenons les normes relatives des r -f- i unités fondamentales relatives du corps relatif cyclique C :
■^. = N^(HJ -')..,, = N,(H,^,),
toute unité £ de c égale à la norme relative d'une unité E de C est alors de la forme
— .,«, .,."'■+" ri'
«, , ..., «^ ^ étant des entiers rationnels et [ ] une unité de C.
Démonstration. — D'après le lemme 3i, nous avons pour E une égalité
E'^Hr'^'...H';r*'*[e].
3{)S '■'*''"'' D^ HTLBERT.
avec les notations de ce lemme. En prenant la norme relative par rapport à c, on obtient (')
Kn délerininanï ensuite deux entiers rationnels a et h, tels que l'on ait 1 1=0/ + hl, et en élevant (j24) à la puissance a, on obtient une formule conforme au lemme 82.
S 1/17. — Les classes d'idéaux déterminées par les idéaux invariants.
Soit C = c\\/\)., Z) un corps kummerien régulier, prenons dans son groupe relatif la substitution S = (v/[x '. Z\/ii-). Comme tout idéal invariant 5( de C détermine une classe invariante, vu S3l = 5l. nous devons d'abord, pour arriver à la connaissance des classes invariantes, étudier la famille de classes engendrée par les idéaux invariants. On a l'importante proposition :
Théorème i58. — Soit l le nombre des idéaux premiers distincts gui divisent le discriminant relatif du corps kummerien régulier C = c{\/\)., iç) de degré relatif l; les normes relatives de toutes les unités de C forment pour c une famille d'unités de degré m; si nous considérons alors toutes les classes contenant soit des idéaux invariants de C, soit des produits de tels idéaux par des idéaux de c(w), elles J or ment une famille de classes de degré
Démonstration. — Supposons d'abord que le nombre [j. ne soit pas de la forme éa', où £ et a sont une unité et un nombre de c{^). Alors toute unité [s] du corps C = c(\/[j,, Z) dont la /'^'"'^ puissance est dans c(Ç) est nécessairement elle-même dans c(Z); déplus. H,. •••» H/, désigneront un système d'unités fondamentales relatives
du corps C par rapport à c(^) et
leurs normes relatives.
Nous prenons, en premier lieu, le cas exlrcme ou l'on a m = . Nous con-
cluons du lenmie 32 que les linilés ■r^^, ..., Y|^, forment une base de la famille (1) N. T. — Si l'on a en cftV-t
Q = c./(^) = oi«(So.)". ... (S'-^o)"'-^
on en déduit
:\c(Q)=[N.((o)r[N,(S(o)7. ... [N,(S'-^o,)]"'-^=[Ne(o,)r-V—«/-2^[N,(o.)7»'>.
JHÉORIE DES CORPS DE NOMBRES ALGEBRIQUES. Soçj
d'unilés formée des normes relatives de toutes les unités de C. Considérons, d'autre
part, les / idéaux premiers invariants fi^ fi, du corps C ; ils déterminent t classes
invariantes, que nous désignerons par L^, ..., L^. Pour déterminer le degré de la famille de classes qu'elles définissent, posons
(125) M = \/â = fif ... Sfi,
où a,, ..., a^ sont des exposants entiers et j un idéal de cÇQ. \\i l'hypothèse faite sur ;x, l'un au moins des exposants a,, ..., a^ n'est pas divisible par /; soit, par exemple, a^. Nous déduisons de (lao) que
est une classe contenant des idéaux du corps c(Ç); comme L/ est aussi une classe de cette espèce, il en résulte que L^ est le produit de puissances des classes L, , ... ; [.^^ et d'une classe contenant des idéaux de c(ç).
Démontrons maintenant que les classes L^, ..., L^^ ne peuvent à elles seules composer aucune classe
(126) /t'=Lf...L;V
contenant des idéaux de c(w), à moins que tous les exposants a\, ... , a\^ soient divisibles par /. En effet, de la relation (126) on tirerait une égalité
(■27) M'=sr-...fi::!r'i'-
où i' serait un idéal de cÇÇ) et M' "n entier de C; on en concluerait alors que E= M """^ devrait être une unité de C. Appliquons à E le lemme 3i; on a aussi une égalité de la forme
(128) E'=Hr'*'>...Hj s.
où y est un entier rationnel non divisible par /, F,(S), ..., F,^(S) des polynômes
entiers en S à coefficients entiers et î une unité de c(Q. Comme on a évidemment N,(E)= ', on a, en prenant la norme relative des deux membres de (128),
1 = ni • • • ''•i,, •
TT,,, ..., T|,^ devant former la base d'une famille d'unités, les entiers Fj(i), ...,
F,,(i) doivent être tous divisibles par /, et par suite ¥J^Ç), ..., F,,(w) par i^ — Ç. En
posant
4 Ou D. HILBERT.
et
£* étant encore une unité de c(Q. Puis, en prenant la norme relative, on a r = s*', c'est-à-dire que e* est une racine Z'^""' de l'unité, par exemple = Z". Comme M '^^ = Ç~', on a
iM''M''H-'î^-^=i,
c'est-à-dire que l'expression M"^M^H~' est un nombre de c(Ç). Comme M' (vu 127) ne contient pas l'idéal C^ ou le contient à une puissance d'exposant divisible par /, que M contient, au contraire, C^ à une puissance d'exposant n^ non divisible par /, la décomposition de ce nombre en idéaux premiers du corps c(Ç) montre d'abord que g doit être divisible par /; puis elle montre, /étant premier à /, que les exposants a/, ..., a/, devraient être tous divisibles par /, contrairement à l'hypotlièse. Par conséquent il ne peut y avoir entre les classes L, , ... , Lj, une relation comme (126),
c'est-à-dire que les classes L, , ... , L, , forment, si m= , une base de la famille
de classes engendrée par la totalité des idéaux invariants; le degré de cette famille
1+ I est donc / — \ z=t -\- m .
Supposons, en second lieu, w= . Il doit alors exister entre les unités r^^,
• •-' 0;-, "lie relation de la forme r/i, ..., ■r\^^^ ^y/, les exposants e,, .... e^^ n'étant
pas tous divisibles par /, y) étant une unité de c(Ç). Si e^, , par exemple, n'est pas
divisible par /, y;,, .... r),^ forment une base de la famille des normes relatives de
toutes les unités de C : cela résulte du lemme 82. Formons alors l'unité
(>'-^9) E = Hr^ . . . H^"r,-^
Comme elle a pour norme relative i, il existe dans C un entier A tel que l'on ait A'~*^^E (théorème 90). Déterminons — ce qui est toujours possible — un entier positif r tel que dans le produit (\/| ' = A |\/j *" l'idéal ii^ entre avec un exposant divisible par /. Les autres facteurs fi, , ... , fi^, ne pourront avoir tous dans M' des exposants divisibles par /, car autrement on aurait, d'après le théorème i53, M'= O^- O éjtant une unité de C et x un entier de c(w); et on aurait par suite 0'^^ = EÇ '- contrairement à la définition (S 55) des unités fondamentales relatives H,- •••' H;-,' puisque,
dans l'expression (129) de E- <?;„, est premier à /.Alors l'idéal invariant fi,,, par
THÉORIE DES CORPS DE NOMBRES ALGEBRIQUES. l^Oi
exemple, entre dans M' a^^c un exposant non divisible par /. On en conclut que la classe L^, est le produit de puissances des classes L, , ..., L^^ et d'une classe contenant des idéaux de c(Ç).
Démontrons maintenant que les classes L, , ..., L^j ne peuvent former aucune classe
contenant des idéaux de c(Z), à moins que les exposants a'^, ... , a'^__, soient tous divisibles par /.
En effet, une relation (i3o) entraînerait une égalité
(i3i) M"=<'^.--Cr'i"'
M" étant un entier de C et j" un idéal de c(Ç); alors E'= M'"~^ devrait être une unité de C. En lui appliquant le lemme 3i, on obtient une égalité
¥'l-liS)
f étant un entier rationnel non divisible par l, les polynômes F'(S) étant à coefficients entiei-s et s une unité de c(Ç). Déterminons alors un exposant entier rationnel « tel que l'entier F',,(i) 4- tie,, soit divisible par /; on obtient, par rapport à c(Ç),
comme Nc(E') = i ,
F'f 3(4)+ttff-:{
(i33) . i = vi[V"""^^...rj^
e' étant encore une unité de c(Ç). Les unités yj,, ... , ■f\,j étant une base d'une famille
d'unités, il résulte de (i33) que les exposants F/(i) -H ue^, ..., F',,(i) -|- «<?,, sont
tous divisibles par /, c'est-à-dire que tous les nombres
sont divisibles par i — Ç. En posant et >
h'=hP''...h^
il résulte de (iSa)
où E est l'unité de C définie par (129) et ='* encore une unité de cÇÇ); en prenant la Fac. de T., 3e S., II. 5i
f[02 D. HILBERT.
norme relative, on a i ==='*', c'est-à-dire que s'* est une racine de l'unité, égaL: par exemple à ^'. On a alors, en tenant compte des égalités :
c'est-à-dire que l'expression entre crochets est un nombre de c('Ç).
En remarquant que fi/, fi/,, 8/2, •••, fi^ sont idéaux premiers dans c(Q, nous voyons d'abord que g' — ur doit être divisible par /; alors, fj\' contenant par hypothèse l'idéal 8,, à une puissance d'exposant non multiple de /, tandis qu'au contraire IVI" contient, d'après (i3i), 8^^ à une puissance d'exposant multiple de /, on voit que ii devrait aussi être divisible par /, et enfin, /' étant premier à /, que les exposants a\, ..., a",, devraient être tous divisibles par /, contrairement à l'hypothèse faite à leur sujet. Ainsi il est démontré qu'une relation (i3o) ne peut exister
entre les L,, ... , L,,, c'est-à-dire que ces classes forment dans le cas de m =
une base de la famille de classes engendrée par tous les idéaux invariants; son degré
est donc t — 2, conformément à la formule du théorème i58.
Supposons, en troisième lieu, m = . Alors il existe entre les unités y;, , .... ■r^l^
lui non seulement une relation de la forme r^\' ■•• '^/J, = V' r, étant une unité de c(0 et
l'un au moins des exposants, par exemple e,, n'étant pas divisible par /; mais il y
en a encore une de la forme r|f' ...r, - =t,", ^^^ étant encore une unité de c(Q et
l'un des exposants e/, par exemple e\^ n'étant pas divisible par /. Formons les unités
La norme relative de E et E' étant égale à i. on peut (théorème 90) poser E = A*~^ et E' = A''^^> a et A' étant des entiers de C. Si l'on détermine alors, comme dans le cas précédent, un entier positif r, tel que |\/|' = AIVI*^ contienne fi, à une puissance d'exposant multiple de /, l'un au moins des facteurs fi,, ... , fi,, entre dans M' à une puissance d'exposant non multiple de /, soit par exemple fi^,. Déterminons alors deux entiers positifs r' et /•" tels que M" = A'M"^ M*^ contienne les deux facteurs fi^ et fi,, à des puissances d'exposants multiples de /. Alors les facteurs 8i> ••• . fi,„ ne peuvent tous avoir dans ce nombre {VI" des exposants divisibles par/.
Car autrement on pourrait poser, d'après le théorème i53. |y|"z=0'a', O' étant une unité de C et a' un entier de c(Ç). En considérant alors les égalités |VI'-^^;^^', A'~'^=E, A""''=E'on aurait,
Q ' I— s __. p' pr' ■' — (rr'+r")
d'où on déduirait, à cause de (i3/i),
B étant une unité de c(Z); mais cette relation est incompatible avec la définition des unités fondamentales relatives (S 55); car chacun des nombres ej, , e'^, étant pre-
mier à /, les exposants de H;-,. Hj, dans (i35) ne sont certainement pas tous deux
divisibles par /. Si donc, par exemple, 8,j figure dans M" avec un exposant non divisible par /, on en conclut que la classe L^^ est un produit de puissances des
classes L,, ... , h^^ et d'une classe contenant des idéaux de c{Q.
Les mêmes considérations que dans le cas de m = montrent encore, dans le
cas actuel de m^= , que les classes d'idéaux L,, ..., L^3 ne peuvent former
aucune classe
Ix L,, ... l.j 3
contenant des idéaux de c(0. si les exposants a!" sont des entiers rationnels non tous divisibles par /. L, , ..., L^3 forment donc une base de la famille de classes composée de tous les idéaux invariants; son degré est par suite t — ^^3, ce qui est conforme au théorème i58.
En continuant par le même procédé, on arrive à démontrer complètement le théorème i58.
Nous avions exclu le cas où le corps kummerien C serait défini par un nombre y £, £ étant une unité de c(Ç) ; il nous reste donc à traiter ce cas à part.
Le discriminant relatif du corps C^c(y/. , ^j ne peut alors, d'après le théorème lis, contenir d'autre facteur premier que ï. On a dans C la décomposition I ^ 8' et S est le seul idéal premier invariant de G . Soient encore t,, , ... , T|,, ,
les normes relatives des unités fondamentales relatives H,. •••. H/-,- Comme
le degré d'une famille d'unités de c(ç) est toujours >^ , on a certainement une
relation de la forme *
4o4 D. HILBERT.
OÙ e^ <?,,, e^^^ sont des entiers rationnels non tous divisibles par / et y, une
unité de c(^). En posant .
(i37) H = H?...H^(>/3) =^ rr',
on a Nc(H)= i» et par suite (théorème 90) H =Â'~^. A étant un entier de G; on peut alors poser (*) A = S°i. \ étant un idéal de c(Ç). L'exposant a n'est pas divisible par /, car autrement, comme fi' = ï = i — '^, on aurait, vu le théorème i53, A = 0^. O étant une unité de G et a un nombre de c(Ç); mais on aurait alors H = 0'~^, et par suite, à cause de (137), une contradiction avec la définition des unités fondamentales relatives (S 55). De l'égalité A=^fi''i. nous tirons j'^*' i : donc i^^ i, fi"^*' i, et comme a est premier à /, 8 ^^^ i, c'est-à-dire que le seul idéal invariant du cas actuel est un idéal principal. Le degré de la famille de classes de tous les idéaux invariants est par suite égal à o dans le cas actuel.
Supposons maintenant que parmi les exposants £>,, — e,, , t',, , par exemple,
soit premier à /et démontrons qu'il ne peut exister aucune relation
fl
OÙ e/, .... e',3, e\, , soient des entiers rationnels non tous divisibles par l et y,' une
unité de c{^). En effet, on en déduirait que
est une unité de norme relative égale à i. Posons, d'après le théorème 90, H' = A''~^> A' étant un entier de G, et déterminons un exposant entier positif r tel que 8 ait dans AA*^ un exposant divisible par /. On peut alors, vu le théorème i53, poser A'A'^ = 0'a', O' étant une unité de G et a' un entier de c(l); alors on a 0''-*^ = H'H^ c'est-à-dire que l'unité
serait la (r — S)''^™e puissance symbolique d'une unité de G, ce qui est incompatible
avec la définition des unités fondamentales relatives. Une relation telle que (i38) est
donc impossible; vu (i36), et comme e,j est premier à /, r^^, ..., t„3, s forment
donc une base de la famille d'unités formée des normes relatives de toutes les unités
(i) N. T. — Parce que 8 est le seul idéal invaiiant de C.
THÉORIE DES CORPS DE NOMBRES ALGÉBRIOUES. f^oC)
de G. Le degré de cette famille est donc et, par suite, toute unité de c(Z) est la
norme relative d'une unité de C . On a donc
et le théorème i58 est encore établi dans ce cas.
S l48. — La totalité des classes d'idéaux OVARIA^TES.
Le théorème i58 a mis en lumière une relation remarquable qui existe entre la famille de classes formée de tous les idéaux invariants et la famille d'unités formée par les normes relatives de toutes les unités de C . 11 y a une relation aussi importante entre la famille de classes formée de toutes les classes invariantes et une certaine famille d'unités de c(Ç).
Théorème 109. — Soit t le nombre des idéaux premiers qui divisent te discriminant
relatif du corps liummerien régulier C de degré relatif l; toutes les unités de c(w) égales
à la norme relative soit d'une unité de C , soit dune fraction de C , forment une famille
d'unités : si n est son degré, la famille de classes formée de toutes les classes invariantes
est de degré t -\- n .
Démonstration. — Donnons à m le même sens que dans le théorème i58. Si, en premier lieu, n = m, la famille d'unités en question coïncide avec celle du théorème i58, c'est-à-dire qu'une unité de c(Ç) égale à la norme relative d'une fraction de C est en même temps toujours égale à la norme relative d'une unité de C. Démontrons alors que, dans ce cas, la famille de classes des idéaux invariants est la famille de toutes les classes invariantes. En effet, A étant une classe invariante de C et ^ un idéal de A, nous pouvons poser 21'-^ = a, a étant un certain nombre entier ou fractionnaire de C, et la norme relative Nc(a) est alors évidemment égale à une unité j de cÇÇ). Comme ensuite, dans le cas actuel, n = m, on peut aussi trouver dans C une unité H telle que Nf(H) ^.3r. on a Nc(a~'H) = i, et par suite (théorème 90) a~"'H = t'^* ou ab'~^ = H. & étant un nombre convenable de C. A cause de a = 5l'~^, on a (?lb)'-^ = H. c'est-à-dire que 51b est le produit d'un idéal invariant et d'un idéal de c(Ç), et par suite on obtient la classe A en multipliant une classe contenant un idéal invariant par une classe contenant des idéaux de c{'ç). Notre assertion est donc justifiée et le degré de la famille de classes formée de toutes les
classes invariantes est alors (vu le théorème i58) égal à / -f- m . co qui est
conforme au théorème 109, si /î = m.
I^Oi\ D. HILBERT.
Soit, en second lieu, n = m, -{- i ; il existe alors dans c(Ç) une unité j. qui n'est pas égale à la norme relative d'une unité de C, mais est la norme relative d'une fraction a de C, et toute autre unité Sr' de même nature sera égale à St' = 3r''-q, a étant un exposant entier et tj la norme relative d'une unité de C. Posons
•^^j, .... ^,, étant des idéaux premiers distincts de C, dont aucun n'est conjugué relatif d'un avitre et où Gj(S), ... , G^(S) sont des polynômes à coefficients entiers de degré / — i en S. Comme Nc(a) = j, on a
d'où l'on déduit aisément que tous les polynômes G sont divisibles par i — 8. l'osons
et
•31 étant un idéal de C et % un entier ou une fraction de c(Ç); on a, dès lors, a = 3l'~^. Il en résulte d'abord que 51 détermine une classe invariante. Cette classe invariante A ne contient pas d'idéal égal au produit d'un idéal invariant par un idéal de c(Q.; en cITet, on pourrait dans ce cas poser 5l=cCi, c étant un entier ou une îraction de C, tt un idéal invariant de C et j un idéal de c(Ç); on aurait alors ^'-^ = c^~^ c'est-à-dire a = Hc'~^. H étant une unité de C. Il en résulterait N,.(a) = Nf(H) = ,5, contrairement à l'hypothèse sur j.
Nous allons montrer maintenant que, dans le cas actuel n = m -|- i, toute classe invariante donnée A' est de la forme A' = A''LA', où A" est une puissance de la classe A qui vient d'être déterminée, L une classe avec un idéal invariant et k une classe contenant des idéaux de c(Q. Pour cela, prenons dans A' un idéal quelconque %'; nous pouvons poser ensuite 21' -^1= a', a' étant un nombre convenable de C. Alors Nf(a') = j' est une unité de c(Ç); posons, conformément à notre hypothèse, N^(a') = j'ï) , Sr, a, Yj ayant le sens de tout à l'heure. Soit a le nombre déjà considéré pour lequel j = Nc(rt); soit, de plus, y, = N<,.(H), H étant une unité de C . On tire de cette équation N(.(a'~'a"H) = i , et alors (théorème 90) a'~'a"H = c'~^, c étant un nombre convenable de C, on en tire (5ï'~'2l"c~')'~^==: 1. Cette égalité montre que 2l'"'5ï"c~' devient, après multiplication par un entier convenable de c(Ç), le pi'oduit d'un idéal invariant S par un idéal j de c(Ç) ; on a donc 21' ^^ 2l"iii . Par conséquent, à cause de n = m -{- i, le degré de la famille de toutes les classes invariantes est
t -\- m ->r i : , valeur conforme au théorème iSg.
THKORIE DES CORPS DE NOMBRES ALGEBRIQUES. liOJ
Soit, en troisième lieu, n = m 4- a; il existe alors dans c(Z), outre j. encore nne unité y égale à la norme relative d'une fraction a' de C, et cependant elle ne peut se mettre sous la forme .j' = .j"ï;, t, étant la norme relative d'une unité de C. Posons
(les ^' et les G' satisfaisant aux mêmes conditions que les ^ et les G plus haut). Comme Nc(a') = .3r', on a
les G' doivent alors être divisibles par i — S. Posons
et
21' étant un idéal de C et a' un nombre de c{'Ç). on a a' = 21''"^. L'idéal W définit donc une classe invariante A'. Cette classe ne peut se représenter par A'=A''L/i, A" étant une puissance de la classe A, L une classe à idéal invariant et A' une classe contenant des idéaux de c(Q. En effet, il en résulterait, pour 21', 2l' = c2l''Lj , c étant un nombre de C, L un idéal invariant et j un idéal de c(t); mais alors on aurait 5('i-s j;i-s5ja(i-s)^^i-s^a c'est-à-dire a'r=Hc*-^a", H étant une unité de C. En prenant la norme relative, on aurait Nc(a') = y = j''Nc(H). ce qui est impossible.
Dans le cas actuel n = m 4- 3, toute unité j" de c(Ç) égale à la norme relative d'un nombre de C est de la forme j" ^ Sr'"' ,3r"r; , a', a étant des exposants entiers et tj la norme relative d'une unité de C . Alors, par les mêmes considérations que plus haut, on montre que toute classe invariante A" peut se représenter par X'"'\"Lk, A', A étant les classes précédemment définies, L une classe à idéal invariant, k une classe contenant des idéaux de c(Ç). Le degré de la famille de classes formée de toutes les classes
invariantes est alors / + m + a , ce qui est la formule du théorème i5g pour
En continuant ainsi, on démontre complètement le théorème 159.
S i49- — Caractères d'l> nombre et d'u> idéal dans un corps kummeriex régulier.
Il s'agit maintenant d'étudier la répartition des classes d'idéaux d'un corps kummerien régulier C:^c\\/\)., 'Q, au même point de vue que la répartition en genres des classes d'un corps quadratique. Nous- désignons par ï, , ..., I^ les t idéaux pre-
/jo8 D. HILBERT.
miers distincts de c(Q qui divisent le discriminant relatif de C . A tout nombre entier v(=|=o) de c{Z) répondent des valeurs déterminées des / symboles :
ces symboles représentent (S i3i) des racines V'''"^* de l'unité. Ces / racines de "l'unité (iSg) s'appellent les caractères du nombre v dans le corps kummerien C. Pour un idéal 3 du corps kummerien, prenons la norme relative Nc(3) = i. Soit h le nombre de classes de c{Z) et h* un entier positif, tel que l'on ait hh*^ i, mod /. Alors i*"* est un idéal principal de c(i^). Soit ji'"'* = (v), v étant un entier de c(l). Soit encore ;, une unité de c(î^). Alors si pour toute unité r, les t symboles
ont la valeur i, nous poserons r=r/ et nous appellerons les /* racines de l'unité
/ ï. S MJ
les caractères de l'idéal 3; ils sont parfaitement définis par cet idéal.
S'il existe, d'autre part, une unité $, dans c(Z), telle que l'un au moins des / symboles
soit différent de i, nous pouvons, sans diminuer la généralité, supposer que, par exemple, — — ^(,.
Considérons alors toutes les unités E, de c{Z) pour lesquelles ^ " ' = i- Soit,
parmi elles, z^ une unité pour laquelle l'un au moins des symboles
i K î (UÎ
soit différent de i ; nous pouvons admettre que, par exemple, j-^ — ^ =^ Z. Conside-
rons toutes les unrtés Cj pour lesquelles les. deux derniers caractères relatifs à I^ et ï<, sont égaux à i, et voyons si elles en comprennent une e^, pour laquelle l'un au moins des / — 2 symboles
soit =|-i. En continuant ainsi, nous obtenons finalement un certain nombre r*
d'unités s,, s,, ..., £,.« de c(ç), telles que l'on a, en rangeant convenablement les idéaux, ï^. ... ï^.
et que de plus, pour toute unité ; qui vérifie les r* conditions, les r = ^ — /'* caractères
Mil) <>h±l
sont aussi tous égaux à i .
Multiplions alors le nombre v de c(^) déduit plus haut de l'idéal 3 par des puissances des unités e,, .... £,.«, de façon que le produit obtenu v vérifie les conditions
j'appelle alors les /' = / — r* unités :
z.(3) = p^^ •••' ^^(^^ = rr '
les caractères de V idéal 3. Dans le paragraphe i5i, nous verrons que l'on a toujours r* <^l et, par suite, r ^ i .
S i5o. — Caractères d'l^e classe et notion de genre.
Le théorème i5r et les remarques additionnelles, paragraphe i33, conduisent à la proposition :
Théorème i6o. — Les idéaux d'une seule et même classe d'un corps kummerien régulier ont tous les mêmes caractères
Il est ainsi possible de faire correspondre à toute classe d idéaux un système déterminé de caractères. Nous rangerons, comme au paragraphe ^^ pour le corps quadratique, toutes les classes ayant les mêmes caractères, dans un genre, et nous Fac. de T., 3e S., IL 52
/jIO D. HILBERT.
appellerons en particulier genre principal celui dont tous les caractères sont égaux à I. Comme c'est le cas de la classe principale, celle-ci appartient donc toujours au genre principal. Les premières formules (80) et (83) conduisent facilement aux propositions suivantes : G et G' étant deux genres quelconques, si l'on multiplie chaque classe de G par chaque classe de G', les produits forment encore un genre : on l'appellera le produit des genres G et G'. Les caractères en seront les produits des caractères correspondants de G et G'.
De la définition résulte que les classes conjuguées relatives SK, ..., S'~'K d'une classe K font partie du même genre que K, et, par suite, la (i — ^y^me pviissance symbolique d'une classe R quelconque appartient au genre principal. Enfin, il est évident que tous les genres d'un corps kummerien contiennent le même nopibre de classes.
S lai. — Limites supérieures du degré de la famille issue de toutes
LES classes I>iVARIAINTES.
Comme pour le corps quadratique, se pose la question importante de savoir si un système arbitraire de r racines /'*"""* de l'unité peut former les caractères d'un genre du corps kummerien. Cette question ne sera complètement éclaircie qu'au chapitre xxxiv. Dans ce paragraphe et le suivant nous placerons seulement quelques lemmes nécessaires pour la suite.
Lemme 33. — / et n ayant le même sens qu'au théorème 139 et r étant le nombre des caractères distinctifs du genre d'une classe, on a toujours
Dé/nonstration. — Soient e, , ..., e^», les r* unités particulières de c(!^) introduites paragraphe 149. Alors on a /' = / — r*. Soient .2r,, ..., .3^„ une base de la famille d'unités de c(C,). normes relatives de nombres de C. Supposons qu'il existe entre les /•• + n unités e^, ..., s^c, 5,, ..., .5,, une relation
les exposants a,, ..., a,.«. b^, ..., 6„ étant des entiers rationnels non tous divisibles par / et e étant une unité convenable de cil); on devrait alors toujours avoir pour
i £.1 ... £ r .J,* ••• J , IJ-, y 1 /••' I n ' « I
et si l'on remarque que les unités ,j sont normes relatives de nombres de G et que,
THÉORIE DES CORPS DE NOMBRES ALGEBRIQUES. 4l *
par suite, on a toujours ,^ — / = i pour u= i, a, ... , / et u= i, 2, ..., /?, on aurait aussi
Ceci n'est possible, vu les formules (i4o) pour les unités ?, , .... z^„, que si les exposants a,, ..., a^ sont divisibles par /, et la relation (i^i) prendrait alors la forme
£* étant encore une unité de c(!^). Mais comme les Sr forment une base d'une famille d'unités de c(Ç), une telle relation n'est possible que si tous les b sont divisibles par /. Il résulte de là que la relation supposée (i4i) ne peut exister, c'est-à-dire que les
imités £ , £ ,, j,, ..., j forment une base de famille d'unités; le de^ré de cette
/— I famille est r" + n, et comme le degré d'une famille d'unités est au plus , on a
r* -f /i<<^ , ce qu'il fallait démontrer. Comme on a t -\- n ^ o, il en
résulte qu'on a toujours r* <C t, donc r ^ i .
S i52. — Complexes d'un corps klmmerien régulier.
Soit h le nombre des classes d'idéaux du corps circulaire régulier c(C); il existe alors dans le corps kummerien C = c(\/[a, l) exactement h classes d'idéaux distinctes, contenant des idéaux de c(Q. En effet, toute classe de c(C) donne évidemment une classe de R de cette espèce, et si deux classes distinctes k^, k^ de c(Ç) contenaient
k des idéaux équivalents dans C, un idéal j de c(0 dans la classe -r^ devrait toujours
devenir principal dans C. Mais alors, d'après le théorème i53, j serait aussi principal dans c[X,), contrairement à l'hypothèse fr, =|- A',.
K étant alors une classe quelconque de C et /i, , ... , k^ les h classes de C contenant des idéaux de c(u), j'appellerai l'ensemble des h classes /v\K, ... , /c^K un complexe. Le complexe k^, ..., /t\ sera le complexe principal et se représentera par i. Les h classes d'un complexe quelconque P font évidemment partie du même genre; ce genre s'appellera le genre du complexe P.
Si une classe d'un complexe P est invariante, il en est de même des autres; le complexe sera dit invariant.
P et P' étant deux complexes quelconques, les produits d'une classe quelconque de l'un par une classe quelconque de l'autre forment encore un complexe : ce sera le produit PP' des complexes P et P'.
4l2 D. IIILBERT.
K étant une classe du complexe P, le complexe auquel appartient SR sera SP; j'appellerai le complexe Q, dont le produit par SP donne le complexe P, la (i — ^y^"^ puissance symbolique du complexe P, Q^ P'~^.
Si P'-^= I (complexe principal), P est un complexe invariant. En effet, K étant une classe de P, P'-^= i entraîne évidemment K^-^ = /f, k étant une des classes li\, ..., kf^. En prenant la norme relative, on obtient i=zk'. et comme d'ailleurs /i''= I, il en résulte /i-= i, c'est-à-dire K'~^= i : R est une classe invariante et P un complexe invariant.
$ i53. — Limites sipérieuues du nombre des genres d'un corps kummerien régulier.
Lemme 34- — / et /i ayant le sens du théorème 169, g étant le nombre des genres du corps kummerien régulier C, on a toujours
Démonstralion. — g étant le nombre des genres du corps kummerien, les complexes se répartissent aussi en g genres. Si l'on désigne par/ le nombre des complexes du genre principal, on a donc pour le nombre total M des complexes, M =fg.
Cherchons maintenant le nombre a des complexes invariants. Pour cela, observons que, d'après le théorème 169, le degré de la famille issue de toutes les classes
invariantes est égal à / + n . Soit A,, .... A^ . „, i^ i une base de cette famille:
l'expression
représente alors, lorsque les exposants prennent séparément toutes les valeurs o, 1, ..., t — I, des classes toutes invariantes, faisant partie de complexes distincts, et par suite ces classes forment l'+"~^~ complexes. Toute classe invariante A est de la forme
les a étant des entiers rationnels et k une classe de c{^). En nous rappelant alors que les /'^"""puissances des classes invariantes A,, ..., A^+„{±1 sont des classes contenant des idéaux de c(Ç), il en résulte que A appartient nécessairement à l'un des l.'+"--r complexes précédemment déterminés; le nombre cherché a = l^'^"'"~^.
Les définitions des paragraphes lôoet iSa montrent de suite que la (i — S)'*'""' puissance symbolique d'un complexe quelconque est un complexe du genre principal.
THl':ORIE DES CORPS DE NOMBRES ALGÉmRIQUES. l^l'^
Envisageons les complexes du genre principal qui sont des (i — syi-mes puissances symboliques de complexes; soit/' leur nombre et soient P^ = Gi '' , ..., P/^r = G/^' ces complexes. P étant alors un complexe quelconque, P'~^ est nécessairement l'im des /' complexes P^, ..., P,^; soit P*~^ = Pj,. Alors on a P ~ =0,,"^, c'est-à-dire (PG7')'~^^ I, et par suite PG7' est un complexe invariant A; on a P = AG^, et par suite l'expression A G,, embrasse tous les complexes, si l'on prend pour A tous les complexes invariants et pour G^, les/' complexes G,, ..., G^. Il est aussi évident que cette représentation est unique; le nombre de tous les complexes est donc M = a/'. On a donc af = gf, et comme on a /' -^ /, il en résulte g ^a, c'est-à-dire
ce qui démontre le lemme S/j.
Lemme 35. — Les lemmes 33 et 34 conduisent de suite au suivant; /• étant le nombre des caractères distinctifs du genre d'une classe, le nombre des genres g est
