COMPLÉMENTAIRES
Les théories développées jusqu'ici nous permettent de démontrer certaines lois fondamentales sur les résidus de puissances Z''^""'* dans un corps circulaire régulier; elles correspondent aux lois de réciprocité des restes quadratiques dans le domaine des nombres rationnels, et la loi de réciprocité d'Eisenstein (théorème i4o, S ii5) entre un nombre quelconque de c{t) et un nombre rationnel en est un cas particulier. Pour donner à ces lois leur expression la plus simple, généralisons le sym-
bole ,— défini aux paragraphes ii3 et 1^7.
Soit // le nombre des classes d'idéaux de c(Q; déterminons un entier positif /** tel que l'on ait hh* ^ i, mod /. p désignant alors un idéal premier quelconque de cCQ, différent de ï, p''''*est toujours un idéal principal de c(^); posons ;p''''" :=(-), :: étant un entier de c(Ç), et supposons, ce qui est possible d'après le théorème lôy, que •:: soit primaire. Un tel nombre - s'appellera un nombre primaire de p. Toute unité
l\\[\ D. HILBERT.
primaire de c(C) étant la /'•■'"" puissance d'une unité de c(Ç) (remarque du § 143), t: possède vis-à-vis de tout idéal premier autre que ;p un caractère de puissance complètement déterminé, q étant alors un idéal premier quelconque de c(Ç) autre que t
\P) et p, on définira le symbole .-> par la formule
Ce symbole est donc une racine /"''"•' déterminée de l'unité, définie par les deux idéaux premiers :p et q . En utilisant ce symbole, nous énoncerons le théorème
Théorème 161, — p et (\ étant deux idéaux premiers distincts, autres que { . du corps circulaire régulier c[t), on a
relation appelée loi de réciprocité des restes de l^'''"^^ puissances. De plus, si z est une unité quelconque de c(Ç) et - un nombre primaire de p . on a
-\-\ I S' ip\~\ i i'
relations appelées lois complémentaires de la loi de réciprocité, f Kummer '"' '-• '^' "'' -"' -'.] Nous dimontr^rons progressivement ce théorème fondamental dans les paragraphes suivants (SS i55-i6i), en appliquant à des corps kummeriens réguliers particuliers les théorèmes et lemmes du précédent chapitre.
S i55. — Idéaux premiers de première et de seconde espèce da>s un corps
CIRCULAIRE régulier.
Il est nécessaire de distinguer pour la suite deux espèces d'idéaux premiers dans c(C); un idéal premier p autre que t de c(Ç) sera de première espèce lorsque toute unité de c(Q ne sera pas reste de /''"""' puissance mod p; dans le cas contraire, il sera de seconde espèce. [Kummer-".]
Lemme 36. — ^ et î étant des imités quelconques du corps circulaire c(l), a= i — T, I = (X), on a les égalités
Démonstration. — Si s est la /'""" puissance d'une unité de c(Ç), les formules ci-dessus sont évidentes. Dans le cas contraire, y £ définit un corps kummerien c[\/t' -j.
et les considérations du paragraphe 147 s'appliquent à ce corps. Toutes les unités de c(Z) et, de plus, le nombre X, sont alors normes relatives de nombres de ciyt, 'C), d'où, vu le théorème i5i, les égalités à démontrer.
Si l'on veut n'appliquer ici le théorème i5i pour W = I que dans le cas traité en détail paragraphes i33, où [j, ^ i -i-1, mod V, on achèvera en prenant d'abord,
pours, ç'"'; ensuite on aura y^'.^i, -^= i(i). On déterminera ensuite, dans
le cas de e unité quelconque de c{Ç), une racine /'^™* de l'unité Ç*, telle que l'on ait r^i^^'^i 4- A, mod r. En prenant alors dans la démonstration précédente C*£'~'. au lieu de ï, on a, vu la deuxième formule (83), paragraphe i3i,
iz, t) (X, £)
Lemme 37. — p étant un idéal premier de première espèce et ■:: un nombre primaire de p, il existe dans c(C) au moins une unité s, pour laquelle on a
Si, au contraire, q est un idéal premier de seconde espèce et y. un nombre primaire de q . on a pour toute unité q de c(Q
Démonstration. — Pour démontrer la première partie, supposons qu'on ait, au contraire, pour toute unité z de c(Ç),
Posons z^a + bl^, mod f^', a et 6 étant des entiers rationnels et e le plus
grand exposant -^/ — i, pour lequel une telle relation est possible; r: étant un
/— 1 nombre primaire, on doit avoir nécessairement e]>i el 7: . s 2 -;: doit être congru
. / izî ,
mod / a un entier rationnel {s ^ représente la substitution (Ç ; Ç ') du corps circu-
laire c(s)). Comme on as - X^ — X, mod ï', on a
r..s^ ^ = (a + 6X0(a + 6(— Xn, (V'^') ,
et il en résulte que, dans le cas de e<Ct — \ . e doit être nécessairement impair.
(') N. T. — Voir la fin du § i3i, el remarquer que "Ç'—'- = (i — X)'-'^ i — (7 — i)X ^1 + X, (mod J-).
/4l() D. HILBERT.
Nous avons trouvé, en démontrant le lemme 29, que les I* = unités s,, ..., s^»
(lu corps c(Ç) vérifiaient les conditions
Si l'on porte, dans l'égalité |^^^'' = i, successivement les unités s,, .... e,<> à la
place de E. on déduit de la définition (83) du symbole ]— j— etdeson extension (S i.3i)
les congruences
/"-*>(7:'-*) = o. /<'-*>(^'-') = o, /"-'"(z'-') = o, ..., /'^'(z'-') = o, (mod/);
elles montrent que dans la congruence r.^a -\- bl", mod V^\ e ne peut prendre aucune des valeurs / — 2, / — li, l — 6, ..., 3. Ceci joint aux conditions déjà trouvées pour e montre que e = / — i. Comme d'ailleurs >/~' ^ — /, mod I', on a z^a^6/, mod t', et, par suite, la norme de z vérifie la congruence
n(z) = (a — 6/)'"' = -'"S (ï')- D'autre part, on tire de la définition du symbole (S i3i) et du lemme 2/1 (8 i32)
et comme le symbole du premier membre doit être égal à «, il en résulte «(t:)^ 1, mod /*, c'est-à-dire z'~' ^ i, mod l', ou 7:^::', mod ï'. D'après le théorème i/j8, le corps kummerien déterminé par y 7: possède, vu la dernière congruence, un discriminant relatif premier à ï, et, par suite, p est le seul idéal premier figurant dans le discriminant relatif de c[\/r., Cj-
Posons p = ^'; «P est le seul idéal invariant de ce corps. De\/^ = ^'*'"*=^P ' résulte que ^ est équivalent à un idéal de c({). La famille de tous les idéaux invariants est donc de degré o pour le corps kummerien c[\/::, ç). Comme le nombre /
des idéaux invariants dece corps est i, il résultedu théorème i58 : i + m = 0,
c'est-à-dire m = . Par suite, loule unité de c(Ç) est norme relative d'une unité
decyyr., l), et on a donc toujours (théorème 101) y^^-^'= i, et, par conséquent
aussi, comme l- — = -^— = ^ , ]-:- =1, contrairement a l'hypothèse que
i P ) ( P ^ ( P ) i P ) l'idéal p est de première espèce.
Pour démontrer la seconde partie, considérons, comme dans le lemme 36, le
corps kummerien c\\/ç, t), ; élant une imité quelconque de c(Ç), différente cepen-
dant de la Z'*""^ puissance d'une unité de c(Q. Comme on l'a démontré à la fin du paragraphe 1^7, toute unité de c(C) est norme relative d'une unité de c{\/\, g et les deux familles d'unités des théorèmes i58 et 169 ont, par suite, toutes deux le degré
Comme, de plus, ^=1, le lemme 34 donne g' ^ i. Donc {7 = 1, toutes les classes d'idéaux du corps c{\/ç, c) appartiennent au genre principal, q étant idéal pre-
mier de deuxième espèce, on a ] — = i , et, d'après le théorème 149. q se décompose en / idéaux premiers distincts du corps c\\/q , C)- Soit d l'un d'eux. Un nombre a(=|=o) du corps c(C) a dans c[\/ç, ç) le caractère unique |-t-[; ce dernier est toujours égal à I (lemme 36) si a est une unité de c(C). Le caractère de l'idéal premier Ci dans c(v 5, ^) est, par suite, | ^ | , et ce dernier doit être égal à i d'après la proposition antérieure. Le lemme 37 est donc complètement démontré.
Si l'on voulait encore ne considérer le théorème i5i comme démontré dans le cas de tt) = t que si p. ^ i -{- 1, mod V, la répartition des genres, et en particulier le lemme 34. ne seraient aussi valables que dans ce cas. Nous devrions alors, pour démontrer la deuxième partie du lemme 37, prendre d'abord ^ = Ç'~', puis ^^Ç**'"', £ étant une unité quelconque de c(Ç) et ^* une racine /'*"* de l'unité, telle que l'on ait Ç*£'~*= I +X, mod V.
S i56. — Lemmes sli\ les idéaux premiers de première espèce.
Lemme 38. — Soit p un idéal premier de première espèce du corps circulaire régulier c(t) et 7: un nombre primaire de p . S'il existe alors dans c{Z) une unité z telle que l'on ait
on a pour toute unité ; de c(Q l'égalité
Démonstration. — Le corps kummerien c[\/z, C) contient, p étant un idéal premier de première espèce, deux idéaux premiers invariants 8 et ^, à savoir ceux dont les puissances /'^"'** sont t et p (voir démonstration du lemme 37). L'idéal premier invariant ^ étant évidemment idéal principal dans c{\/'k, z), la famille de classes des Fac. de T., 3e S., II. 53
4l8 D. HILBERT.
idéaux invariants de ce corps est de degré o ou i, suivant que 8 est ou non idéal principal. D'après le théorème i58, le nombre 2 -+- m est donc égal à o ou
. , ,. ,. ' — 3 l — .i ^ a i. c est-a-dire que 1 on a m^ ou/?î=: . Comme l'unite e, vu l'hypothèse l—T-^l- I' n'est certainement pas (théorème i5i) norme relative d'une unité
de c(v 77, C) » on a nécessairement m ■= , et, par suite, toute unité ; de c(^) peut
se mettre sous la forme ; =■ t^, a étant un entier rationnel et ^ une unité égale à la norme relative d'une unité de c\\t., ^). Pour ce motif, on a donc (théorème loi)
et par suite aussi -j— =^ ^ ' "^ ^^ résulte, d'après la deuxième formule (83), que , l'on a aussi v^^\ = | — | • C. q. f. d.
Si le théorème i5i n'est admis pour tt) = ï que si |j. ^ i + À, mod I', on déterminera une racine /'^""^ de l'unité "Ç, telle que X^r}~'^ ^ i + X, mod T, et l'on considérera le corps c(v/(^*7:'~', ^) au lieu de c\^r,, s). Puis on appliquera le lemme 36.
Lemme 39. — ^, ^>* étant deux idéaux premiers de première espèce de c(Ç) et x, r* deux nombres primaires de p, p*, si l'on a, pour toute unité ; de c(Ç;),
ip*)
ip^-
on a
Démonstration. — p* étant idéal premier de première espèce, nous pouvons déterminer une unité s de c(Q, telle que | — [ = i. Considérons alors le corps kumme-
rien cyytTz, ^). Son discriminant relatif ne contenant que les deux facteurs premiers I et p, un nombre a(=|=o) de c(Q ne possède que les deux caractères
iJzIl} et !i:-!^!-i^l;
( ï ) i P ripy
Comme on a -^[ = i, :p* est décomposable dans c(v£~. s)» soit ^ l'un de ses fac-
iP ) teurs premiers dans ce corps.
Pour former les caractères de ^*, observons que p est un idéal premier de première espèce; on peut donc déterminer une unité e* de c(Ç), pour laquelle - — | = i
et ^ possède le caractère unique j " " ' " " | . Nous concluons alors, du lemme 35,
gf <^ I pour le corps ciyer., ç), c'est-à-dire que dans ce corps toute classe d'idéaux appartient au genre principal, et le caractère ci-dessus a donc la valeur i. Or, nous
avons | — I = I, c'est-à-dire, à cause de la formule (S ii3),
iP)
ensuite | — ^[ = i, c'est-à-dire
p) iP
et enfin ] ' = i, ou, avec les formules (83),
(Tt*. £|
Il )
rc*, TZ*)
et
(lemme
Comme (lemme 36) : ]— 7-[ = i, et (lemme 3o) : ] — - — [ = i, la dernière formule devient
Comme, vu notre hypothèse, on a
et
i i i ip) i i ) ip'y
on tire de (i44)
égalité qui, jointe aux formules (142), (i4'^). conduit à celle du lemme.
Si l'on veut encore n'appliquer le théorème i5i pour ID^I que si u^ i + À, mod V, on prendra dans la démonstration ci-dessus une unité s telle que l'on ait,
outre 1^1 = 1, (zz)" ^ i + "a, mod V, pour un exposant a premier à /. C'est toujours
possible si ,— -,= i. Mais si ,-^ =|= i et que ^-^i-l-i, cette condition peut être vé-
rifiée encore si l'on prend pour e une puissance convenable de !;. 11 n'y a encore
doute que si | -— [ =|- i et < -^ [ = i . Dans ce cas, renversons les rôles de ». ■:: et »*, tt*
ip) Ip*)
dans la démonstration : alors il ne reste plus que le cas où l'on aurait en même
temps I —-( =1- ï » 1 — [-1=1. et -^( = 1, , — = 1. Mais dans ce cas les deux der-
iP ) (P) iP ) ip)
nières conditions montrent sans plus l'exactitude du lemme.
D. IIILBERT.
Lemme 4o. — p étant un idéal premier de première espèce de c{Z,) et :: un nombre primaire de p, si l'on a pour toute unité ^ de c(Ç)
si, en outre, p* est un idéal premier =|= p de première espèce tel que l'on ait
il existe toujours dans c(t) une unité s telle que
z* étant un nombre primaire de p*.
Démonstration. — Nous procédons exactement comme dans le lemme précédent et nous arrivons, en introduisant certaines unités s et i*, aux trois formules (142),
( £*) (-::,£*) ip } (O*)
(i43), (i44)- Mais, \u l'hypothèse {—== < — - — ,ceciet<— -==] — =|- i , ainsi que
ip\ l i ) iP*) ip)
les trois formules indiquées, conduisent à la démonstration du lemme 4o.
Si le théorème i5i n'est admis que dans le cas de jx^ i + a, mod ï', il suffit de
déterminer s de manière à vérifier, outre |^|=:i, encore la congruence(£T:)''^ i +X,
mod r, avec a premier à /, détermination toujours possible ici.
S 157. — Cas particulier de la loi de RÉCIPROflITÉ POUR DEUX IDÉAUX PREMIERS.
Théorème 162. — :|) et q étant deux idéaux premiers quelconques d'un corps cir-
culaire régulier pour lesquels {- = 1, on a aussi ^-=1.
Démonstration. — Soient 7:, /. des nombres primaires de p et q. Considérons le corps kummerien c(v/t:, C) et distinguons deux cas, suivant que p est de première ou de seconde espèce.
Dans le premier cas, le discriminant relatif de c[\/t., l) contient les deux idéaux
premiers I et ^ et il existe, d'après le lemme 87, une unité s de c(C) telle que |-7-(=N i- Un idéal de c{\/t:, t) n'a, par suite, qu'un seul caractère, c'est-à-dire que r^i et (lemme 35) g=i. Comme ]-[^ i, q est décomposable dans c(vx, 'C); soit & un
de ses facteurs premiers, x et ■/. étant primaires, on a (lemme 3o) "'"■== i, et Ci
appartenant au genre principal, on a aussi < -^-^ [ = - ^ i . C. q. f. d.
i p ) Ip)
THÉORIE DES CORPS DE NOMBRES ALGEBRIQUES. l\2 I
Si p est de seconde espèce, on a (lemme 87) pour toute unité ç de c(Q : j^^^ = i,
et par suite (démonstration du lemme 87) le discriminant relatif de c\\/t,, l) ne contient que l'idéal premier p. Par suite, on a encore r=i, g= i . |-=i, donc q est décomposable dans c{\/-r:, Cj- Soit Ci un de ses facteurs premiers. & étant du
ffenre principal et comme on a |^^^' = i, on a aussi |-^-^' = , -' = i. C. q. f. d.
/ I ^ l p \ Ip^
Dans le cas où le théorème i5i, et par suite aussi le lemme 35, ne seraient admis pour 10 = ( que dans le cas de jj. ^ i 4- ^. mod V, il faut ajouter ce qui suit dans le cas où p est de première espèce.
p étant un idéal premier quelconque et 7: un de ses nombres primaires, on déduit
— — (s i3i) et du lemme 24 (§ iSa) l'égalité
{ C ) Or, si l'idéal premier q est tel que l'on ait ]— =:i, déterminons une racine /'•""'* de
( fl 1 l'unité C telle que l'on ait ÇV~* ^ i + X , mod V, et envisageons au lieu de c{\/t. , t) le corps c(v C*z'~', u). Nous employons alors la méthode indiquée plus haut. Comme on a
et qu'on a, comme plus haut, |-^V-Î= i ; que d'autre part, vu(i45), -^-^'= -= i,
( t ) ( I ) ff>)
il en résulte " " — == i , et nous en tirons \ — — - — ^ = i , c'est-à-dire | - | :^ i .
i t ) l p ) ip)
Soit, d'autre part, j — [ =1= i ; P étant de première espèce, il existe sûrement une
unité £, telle que i — M= i- et de plus (lemme 87) une unité s^ telle que \
On peut, de plus, choisir ces unités ^ i + X, mod . ï*. Nous en déduisons l'existence d'une
unités, pour laquelle I — [-|=i et 1 ^^^^r- f -i= i , et telle que c^i -1- X, mod V. En
effet, si ces conditions ne sont remplies ni par s, ni par e^, on a simultanément
' * — I» iirl "^^ '' ^'^ alors £:^(£j£j 2 serait une unité vérifiant ces conditions.
il) (P
— ^i. Si l'on avait
\ — [=1= I, a serait sûrement premier à / et on aurait ' '' "' -
iP)
De plus, y. étant primaire, il est visible qu'une certaine puissance de rj, d'expo-
sant premier à / est congrue à i + X, mod V. De (i45) et du lemme 36 résulte encore \-—r— ( =N •• Le corps kummerien c\\/r^-/,, ç) ne possède donc qu'un genre. Comme
•ry.
— z=z I, p est décomposable dans ce corps; ^ étant un de ses facteurs premiers, son caractère est égal au symbole
L* étant une racine /'""* de l'unité telle que l'on ait ] — '' ' =:^ i. Vu la dernière
égalité et comme on a J-^^ z=i, il en résulte !— r— )~~r^[^^ '' ^^^ ^ cause de
V-^-r-^ =N I' — 7— [ est aussi =hi, c'est-à-dire, vu (i45), — H- ' ; <^ii a donc l*-|= i.
Mais comme l'un des caractères de l'idéal premier «P doit être égal à i, il résulte de
( tt ) , ( j;* )
]- > = I nécessairement < — [ = i* contrairement a ce qui précède.
S i58. — Existence d'idéaux premiers auxiliaires pour lesquels la loi
DE réciprocité SE VÉRIFIE.
Lemme 4i- — ^ étant un idéal premier quelconque du corps circulaire régulier c(C), il existe toujours dans c(Ç) un idéal premier t vérifiant les conditions
Démonstratioîi. — Soit h le nombre de classes de cÇÇ) et. comme aux paragraphes 1 49 et i54, h* un entier positif tel que l'on ait hh* ^ i , mod /. Soit p le nombre premier divisible par p et r. = p'''^'' un nombre primaire de p: soient, de plus, p', p", ... les idéaux premiers distincts conjugués de pdans c(X) cl z' = p' ''''", -" = ^"'"'*, etc., les conjugués de 7: dans c(C) : ils sont primaires pour p\ p" On a ensuite
p=^pp'p" ... . Comme, de plus, — j—j-, — doit être une unité de c(X) et que c'est un
TCTC ~ ...
nombre primaire, il résulte du théorème i56 (voir aussi S 1/43) que ce quotient représente la /'■'"""puissance d'une unité z de-c(Z}:
Appliquons alors le théorème 162, en prenant
THÉORIE DES CORPS DE NOMBRES ALGEBRIQUES. l{26
Ç n'étant pas la Z'^"'*" puissance d'une unité de c(t) et z, ■::', -", ... étant des puissances d'idéaux premiers dont les exposants sont premiers à /, les conditions du théorème 102 sont remplies, et il existe par suite dans c(C) un idéal premier r et un certain exposant m premier à / tel que l'on ait
X \ ~^' / r ) ~^' l v).~ '' lv\ ~''
c'est-à-dire
(M6) !-^!=r, it;=?*. i^[ = ^' i^i = «'
De (i46), on tire j [ = ] — ^ — [ ^^ i 1 [ ==^ ^*' ^^ P**^ suite on a aussi, vu
où Ç' est une racine /'^"'® de l'unité autre que i.
le théorème i^o, l -^ =2:'', p étant un nombre primaire de r. Gomme maintenant,
lp'""'\ ■ ^ ^
\ ( p ) (pi
vu (i46) et le théorème 162, on doit avoir j-^ • ;= i, j-^ =1, ... et que
nous obtenons
Lemme 42. — p étant un idéal premier quelconque du corps circulaire régulier c(u) et z un de ses nombres primaires, e étant une unité quelconque de c(Z) non égale toutefois à la F""^ puissance d'une unité de c(Q, il existe toujours dans c(s) un idéal premier r vérifiant les conditions
Démonstration. — Soient ~, t.', t:", ... les mêmes nombres que dans la démonstration précédente; prenons pour le théorème i52
a, = Z-. a, = T, a, = rJ, a, = r.', a, = r."\
les nombres a^, a^, ... vérifiant encore les conditions du théorème 162. Une démonstration semblable à la précédente conduit à un idéal premier t remplissant les conditions de l'énoncé.
l\2!\ D. HILBERT.
