DÉMONSTRATION DE LA PREMIERE LOI COMPLEMENTAIRE

Pour démontrer la première loi complémentaire dans le cas d'un idéal premier p de première espèce, appliquons le lemme Ai ; on pevit déterminer un idéal premier r tel que l'on ait

et que, par suite, il soit de la première espèce. D'après (i/i5), on a pour l'idéal t l'égalité

(Ti = ^ -î— i-

(M p étant un nombre primaire de t. Comme on a ]— =|= i, on a pour toute autre unile

; de c(0 (lemme 38)

et par conséquent les conditions du lemme ko sont remplies par les idéaux r et ^>. D'après ce lemme, il existe donc dans c{X,) une unité e telle que l'on ait

T. étant un nombre primaire de p. Par suite, on a (lemme 38) pour toute autre unité

ç de c(s) l'égalité — = — — ^ , ce qui démontre la première loi complémentaire de

la loi de réciprocité si p est de première espèce.

Soit maintenant q idéal premier de deuxième espèce de c(Ç). Alors on a, pour toute

unitécdec(Q, — = r, et y. étant un nombre primaire de q, on a toujours aussi

(lemme 37) ]— r-^[ =1. On a donc encore la première loi complémentaire

s 160. — Démonstration de la loi de réciprocité entre deux idéaux premiers