QUELCONQUES

La première loi complémentaire ayant été démontrée, on en conclut, avec le lemme Sg, la loi de réciprocité pour deux idéaux premiers quelconques de première espèce.

Soient, en second Heu, p un idéal premier de deuxième espèce, z et y. des nom-

bres primaires de :p et q. Dans le cas où l'on a -^ i, il. résulte du théorème 162

iP) ip) j - == I, et par suite l'exactitude de la loi de réciprocité pour p et q. Supposons main-

tenant {-} = ] — [ =N 1 . 0 étant de première espèce, il existe une unité e telle que \ — , = i .

iP) (p) ^ {p\

et on peut de plus toujours supposer qu'une certaine puissance de £■/., d'exposant

premier à /, est ^ i + À, mod V (cela ressort d'une considération à la fin de la démonstration du lemme Sg). Considérons le corps kummerien c\\/z7,, 'Ç). D'après le théorème i48, le discriminant relatif de ce corps par rapport à c{Z) contient les deux facteurs premiers I et q ; q étant de deuxième espèce, on a, vu les lenimes 36 et 87, pour toute unité ç de c(V)

et, d'après cela, le nombre des caractères distinctifs du genre d'un idéal de f(vex, ^) est égal à 2. D'après le lemme 35 le nombre des genres de ce corps est donc g ^l. Déterminons alors, d'après le lemme /»2, un idéal premier r de c{Z) tel que l'on ait

A cause de la première égalité, r est encore décomposable dans c(v/îx, v). Soit 9Î un de ses facteurs premiers dans ce corps et p un de ses nombres primaires. L'idéal 91 a dès lors dans ciyzv., Z) les deux caractères

Gomme le second caractère est =|= i, les idéaux 91, 91*, .... 91' déterminent des genres tous différents, et il n'y en a pas d'autres, vu la limite supérieure trouvée pour g. En appliquant la première loi complémentaire (S lôg), on obtient

( I S iq S ( f Wq S lt)\q\~iv\.lv\~i v)~''

C'est-à-dire que le produit des deux caractères (1A7) est égal à i. Comme tout idéal de c[\/e.v., Z) appartient à l'un des / genres, il en résulte que tout idéal de c{\/z7., ç)

a deux caractères de produit égal à 1. A cause de | — | = i, p est encore décomposable dans c[\/e'A, ^); soit ^S un de ses facteurs premiers dans ce corps; les deux caractères de cet idéal sont les symboles

i I )' ( q i"~(q )' Fuc. de T., 3e S., II. 54

et on en conclut, d'après la première loi complénnentaire^

ce qui démontre la loi de réciprocité pour les idéaux p et q.

Soient, en troisième lieu, q et q* deux idéaux premiers de deuxième espèce, v., x* des nombres primaires de q, q*. Considérons le corps kummerien c(yy.7.*, u). Les nombres y. et /.* sont, on l'a vu dans la démonstration du lemme 87, congrus mod V à des /''■•"•■* puissances de nombres de c(V); il en est donc de même de xx*, et par suite, d'après le théorème iZjS, le discriminant relatif du corps c\\/xyf, ç) n'est pas divisible par t. Ce discriminant relatif ne contient, par suite, que les deux facteurs premiers q et q*. Or, on a pour toute unité ; de c(Ç)

i q nui" l q- )~U*\~ '

et par suite le nombre des caractères distinctifs des genres de c[\/v.-a*, 'Q est /'^2. D'après le lemme 35, on a alors g^l- Ensuite, d'après le théorème i52, on peut toujours déterminer un idéal premier r de c{^) tel que l'on ait

-, (IL,., jiLJ-i-,

r est encore décomposable dans c(Z). Soit 91 un de ses facteurs premiers, p un de ses nombres primaires. Les caractères de l'idéal 91 dans le corps kummerien sont les deux symboles

q- j i<\*) lq*r

Comme le premier caractère est, d'après le théorème i6a, nécessairement =|= i,

puisque — =N i, les idéaux 91, 9*1* 01' déterminent /genres distincts et il n'y

en a pas d'autres. Comme on a — =1= », ï est un idéal de première espèce; par

( ï ) suite, d'après ce qui précède, la loi de réciprocité s'applique d'une part à r, q ;

d'autre part à r, q*. et le produit des deux caractères (i48) est donc

(149) s^M^)j±Mi:^-S'^)-,

Comme tout idéal de c\\/v.y.* , c) appartient à un des / genres, il résulte de (i^o) que tout idéal a deux caractères dont le produit est égal à i. Or, l'idéal q est égal à la 1^^""" puissance d'un idéal premier Cl de c\\/'a-/* , CJ- Les deux caractères de fii dans ce corps sont alors

et leur produit devant être égal à i, on obtient

La loi de réciprocité est ainsi démontrée pour deux idéaux premiers quelconques.

§ 16 1. —7 Démonstration de la deuxième loi complémentaire.

Soit d'abord p un idéal premier de première espèce et x un nombre primaire

de p. Déterminons une unité s de c("). telle que l'on ait |— • = i, et considérons le

corps kummerien c{v^îX.. ^). Gomme , — f = i, p est encore décomposable dans ce corps; soit ^ un de ses facteurs premiers. Nous voyons que l'idéal ^ a un seul

caractère, j '" " i ; et comme il n'y a aussi qu'un genre (lemme 35), le genre principal, ce carac suite l'égalité

cipal, ce caractère doit être égal à i. Par suite, comme (8 i5q) — | = ,^^ , on a de

lp)~i i

Soit, en second lieu, q un idéal premier de seconde espèce, et /. un nombre primaire de q ; il v a deux cas à distinguer, suivant que l'on a \ — [ = 1 ou =|= i. Dans

le premier cas. la considération du corps kummerien cyyl, z) montre que l'on a aussi |-^| = i. Dans le second cas, on déterminera, d'après le théorème 102, un

idéal premier » , pour lequel on ait |-^f= — >=l=i- Alors p est nécessairement de

ip) (p)

première espèce, et il résulte du théorème 162, x étant un nombre primaire de Ip , ] -^ [ =!= I ; on peut donc déterminer un entier rationnel a de façon que -^[ = i .

En considérant le corps ciK/lz", z), comme on a ■,— — —'; = — f =1= i, un idéal n'a

i P ) (p) encore dans ce corps qu'un seul caractère, toujours égal à i. Appliquant ceci à un

4a8 D. HILBERT.

facteur premier fii de q dans ce corps, on a — —^ — -î= — \-t--\ = i. et en

tenant compte de réffalité ', — == — . on a \ — [=i^l— [.

{ ^) ip) (fl'M)

C'est Kummer qui a démontré le premier la loi de réciprocité des résidus de puissances /'^•"««. Notre démonstration nouvelle diffère de celle de Kummer, surtout en ce que Kummer obtient d'abord la première loi complémentaire, au moyen de calculs considérables, par une généralisation très habile des formules de la division du cercle, et que c'est seulement alors en s'appuyant sur ces calculs, qu'il en déduit la loi de réciprocité entre deux idéaux premiers; au contraire, dans les développements qui précèdent, les démonstrations de la loi de réciprocité et des deux lois complémentaires découlent d'une source commune.

Parmi les lois de réciprocité particulière que l'on traite à l'aide des formules de la division du cercle, citons la loi de réciprocité des résidus biquadraliques [Gauss'\ Eisenstein*'"], celle des résidus cubiques [Eisenstein ''' ", Jacobi'], puis les recherches de Gmeiner '• -' ^ pour les résidus bicubiques et celles de Jacobi* pour les restes de puissances 5% 8° et I2^

Mentionnons aussi que Eisenstein a donné sans démonstration une loi de réciprocité pour les restes de /'^"""' puissances et a même envisagé le cas où le nombre des classes du corps circulaire des racines /'"'""'** de l'unité est divisible par /. [Eisenstein'- '^.]