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le produit étant étendu à tous les idéaux premiers t» de c(^).

Démonstration. — Soit h le nombre des classes d'idéaux de cÇÇ) et h* un entier positif tel que hh*^\, nftod /. Posons ^^Vp^p^... et [j. = I*q,q^ ... , a et 6 étant des exposants entiers et p^, p^. ..., q,, q^, ... des idéaux premiers déterminés de

THÉORIE DKS CORPS DE NOMBRES ALGEBRIQUES. /\21J

c(v). -, . ',. . -, ■/-,. "/-j. •• étant des nombres primaires des idéaux premiers p^, p^, ... . <},, <!,, ... et tels que l'on ait

on a, en posant X = i — »,

£ et T, étant des unités de c(t). lo étant un idéal premier quelconque, on a toujours

jv, [j.} (y***, [j***^

(iSi)

Soient alors p, q deux idéaux premiers distincts autres que ï de c(Z) et •::, y. deux nombres primaires correspondants; soient, de plus, ?.. t, des unités quelconques de cÇ^). On tire facilement du lemme 36 et du théorème i6i les formules

tW»>i • l p )i q ^

tt> étant un idéal premier autre que I, non diviseur de [j., le discriminant relatif du corps kummerien c\\/'^., z) est (théorème i48) premier à n>; si tt> est aussi premier

à V, V est résidu de normes du corps kummerien c\\/[j., Z) (théorème i5o) et on a,

par suite (théorème i5i), < — -\ = i. Par suite (vu 162) le théorème est vrai si l'un

des deux nombres v, \). est soit une unité, soit une puissance quelconque de X, soit un nombre primaire d'un idéal premier =|= I ; à cause de (i5o) et (i5i) et des règles (80) et (83), le théorème i63 est donc général.

S i63. — Théorème fondamental sur les genres d'un corps kummerien régulier.

Théorème 164. — Soit r le nombre des caractères distinctifs d'un genre du corps kummerien régulier C = c(v/p., z); pour qu'un système donné de r racines /'"°^* de l'unité caractérise un genre de C, il faut et il suffît que le produit de ces r caractères soit égal à t. Le nombre des genres de C est par suite r~\

Démonstration. — Soit h le nombre de classes du corps circulaire régulier c(Z,), h* un entier positif, tel que l'on ait hh* ^ i, mod /; soient (, , ..., I,. les r fadeurs premiers du discriminant relatif de C choisis conformément au paragraphe i^Q- Soit A une classe d'idéaux quelconque de C, 3 un de ses idéaux premier à I=:(i — Z)

et au discriminant relatif de C; soit v = (Nf[3])''''* l'entier de c{Z), formé selon le paragraphe 149 et pourvu d'un certain facteur unité de telle sorte que

soient les r caractères distinctifs du genre de 3. Soit p un idéal de c(0, dans le cas où il en existe un. figurant dans v avec un exposant divisible par /; p est alors sûrement différent de I et premier au discriminant relatif de C. Nf(3) étant la norme relative d'un idéal, p doit être décomposable dans C. On a donc (théorème 1/19) pour

un tel idéal p : -=i, et par suite aussi -l-!-^^i. Vu le théorèms i63, il en

résulte

(i53) "j-iirH''

le produit étant étendu à tous les facteurs idéaux premiers w distincis de ï du discriminant relatif de C et, en outre, à l'idéal premier I. Ensuite on a, ï,,, ,, ..., î^ étant les autres facteurs premiers du discriminant relatif, vu le paragraphe 1/19 : (v, a) (v, u, j {''^ V'}

Si alors le discriminant relatif du corps C contient l'idéal premier t, (i53) montre déjà que le produit des r caractères est égal à i. Dans le cas contraire, le nombre v est (théorème i5o) résidu de normes du corps C, mod ï, et par suite (théorème i5i)

\-^-^[ = I ; on voit encore dans ce cas, d'après (i53) et (lôli), l'exactitude de l'une

des parties du théorème 164.

Pour abréger, nous ne démontrerons la seconde partie que dans le cas où le discriminant relatif de C ne contient pas t. Soient alors encore I, ï^ ses facteurs

jMemiers dans c(V) et X, À^ des nombres primaires correspondants; soit e^ l'exposant de ï^ dans y. et e* un entier tel que e^e*^ i, mod l. Enfin, soient y^, ..., y , /• racines /'•'""'^ de l'unité quelconques dont le produit y^ ... y,.= i ; d'après le théorème i52, il existe alors toujours dans c{Z) un idéal premier p non diviseur de [x et remplissant les conditions

1^1 ^' Ip\ '- ip\

pour un exposant m de la série i, 2, ... , / — i. z étant un nombre primaire de p, on a, vu (i55), d'après le théorème 161,

1 ï. )~MJ ~MJ ~ip (j = 1,2, ...,)■).

THÉORIE DES CORPS DE NOMBRES ALGEBRIQUES. li'5 I

On oblicnl de même, yu (i5G), (.58) ^ = f =^=..

Comme y^y^ ... y^= i, on a, vu (107) et (i58),

(>59) nj^; = i.

le produit étant étendu à tous les idéaux premiers ï, ï^. Si alors tt) est un idéal

premier de c(Q autre que ^, I,, ..., ï^, le nombre 7: (théorème i5o) est reste de normes

du corps kummerien, mod t», et par suite (théorème i5i) on a toujours ^— — - = i. On tire de là et de (lôg) et du théorème i63 que l'on a aussi \— — '■ = i, c'est-à-dire

-[ = I. D'après cette dernière égalité, p se décompose dans C en / idéaux premiers

(théorème i/j9)- ^ étant l'un d'eux, l'idéal ^"^ a évidemment, vu (107) et (i58), pour caractères distinctifs les racines /'*■'"** de l'unité données y,, ..., y,., et le théorème 164 est ainsi complètement démontré dans le cas considéré. Si I figure dans le discriminant relatif du corps C, il faut apporter à la démonstration une modification facile à déduire par analogie de ce qui a été dit dans le cas du corps quadratique (voir § 81).

Kummer a basé ses recherches sur un certain anneau de nombres du corps C z=c[\/\)., ç) et non sur la totalité des entiers de ce corps. La notion du genre «ubit alors un changement. Kummer a eu le grand mérite de découvrir et de démontrer pour cet anneau le théorème qui répond au théorème i6/i. [Kummer^".] En dehors de l'anneau étudié par Kummer, il y en a encore dans C une infinité dont la théorie pourrait se développer avec autant de succès.

S 164. — Les classes du genre principal dans un corps kummerien régulier.

Nous plaçons dans ce paragraphe et le suivant quelques conséquences importantes du théorème fondamental 164 analogues aux théorèmes développés pour le corps quadratique dans les paragraphes 71, 72 et 82.

Théorème i65. — Le nombre des genres g d'un corps kummerien régulier est égal au nombre de ses complexes invariants.

Démonstralion. — t et n ayant le même sens qu'au théorème 109. si l'on considère que g = r~^ (théorème i64). il résulte du lemme 34 : r — i-^t-\-n : — , et

comme, d'après le lemme 33, on doit avoir / + n ^ '"— • . il en résulte

Le nombre a des complexes invariants (déterminé dans la démonstration du lemme 34) est, par suite, /'"'; on a donc a = g.

Théohème i66. — Tout complexe du genre principal dans un corps kummerien régulier est la (i — S)'''"'^ puissance symbolique d'un complexe de G, c'est-à-dire que loute classe du genre principal est le produit de la (i — S)'*'"'e puissance symbolique d'une classe et. d'une classe contenant des idéaux de c(Z).

Démonstration. — On a obtenu, dans la démonstration du lemme 3/j, l'égalité nf' = gf; a est le nombre des complexes invariants,/' celui des complexes égaux à des (i — sy^mes puissances symboliques de complexes, g est le nombre des genres, /celui des complexes du genre principal. Comme, d'après le théorème i65, a = g, on a /'=/, ce qui démontre que tout complexe du genre principal est la (i — syéme puissance symbolique d'un complexe.

S i65. — Sur les formes relatives des nombres d'un corps kummerien régulier.

Théorème 167. — v, a étant deux entiers du corps circulaire régulier c(Q. [x non égal à la /'""" puissance d'un nombre de c(^). et vérifiant, pour tout idéal premier W de c(V), la condition

le nombre v est toujours égal à la norme relative d'un entier ou d'une fraction A du corps kummerien C=^c{\/\)., Z).

Démonstration. — Démontrons d'abord ce théorème dans le cas où v est une unité

(le cÇÇ). Donnons encore à / et à n le même sens qu'au théorème i5g; dans la démons-

tration du théorème iG5. on a montre que /* — i ==/ + n , c est a-dire que

/i = t + r. Considérons, d'autre part, les /•* = / — r unités s,, ..., s , définies

au paragraphe i49- Vu les égalités (i4o), un produit de puissances de ces r* unités ne peut être la /'*''"'' puissance d'une unité de cÇÇ) que si tous les exposants sont divisibles par /. On peut donc^ la totalité des unités de C(Z) formant une famille de

degré— ^^ — ^.déterminer /•* autres unités : £,,:%,, s,*^^ î,, de c(u), telles

que toute unité ^ de c{V) puisse se représenter par

^j, "., Xf^ étant des exposants entiers rationnels et s une unité appropriée de c(Z).

En posant alors

le !l 1

(tt= 1, 2, ...,^; w =1, 2, ..., r«)

les r* égalités

(,6„) |j = ,, ( = ,, ..., jj j = ,

donnent les r* çongruences linéaires en a?,, x^, ..., £C;,

(i6i) { [(mod /).

ox + e^^ax, + ... 4- e^^ x,, = o ,

A cause de (i4o), nous avons

^33 = I , . . . , 6^«3 = o, ) (mod /) ,

et par suite les r* çongruences linéaires (i6i) sont indépendantes; il en résulte que

toutes les unités ^ remplissant les conditions (i6o) forment une famille d'unités de

1 , ^ — I « ^ — I degré r = 1 -{- r.

Nous avons établi, au début de cette démonstration, que le degré n de la famille de toutes les unités de c(Q, normes relatives d'unités ou de fractions de C, a la même valeur. Comme, de plus, toute unité de c(Z), norme relative d'une unité ou d'une fraction de C, est évidemment résidu de normes de C, mod I et doit par suite (théorème i5i) vérifier aussi les égalités (i6o), toute unité de la première famille appartient aussi à la seconde; ces deux familles ayant même degré sont donc identiques. Or, l'unité donnée v satisfait par hypothèse aux conditions (i6o) et appartient, par suite, à la seconde famille; v est donc aussi contenue dans la première, c'est-à-dire que V est norme relative d'une unité ou d'une fraction de C .

Soit maintenant v un entier quelconque de c(Z), vérifiant les conditions du théorème 167 ; considérons les facteurs idéaux premiers de v dans c(Z). Posons X= i — Ç Fac. de T., 3« S., II. 55

434 D. IIILBERT.

et Ï = (X). Si l'idéal premier ï entre dans v, mais avec un exposant 6 non divisible par /, et qu'il n'entre pas dans le discriminant relatif du corps C, on a, d'après la fin du paragraphe i33,

/ \ / ^ ft \ / \—b

et, vu l'égalité qu'on en tire, j^' = i, I est (théorème lAg) décomposable dans C

en / facteurs premiers. Si C est l'un d'eux, on a : ï=:Ne(fi).

Soit ensuite p un idéal premier de c(Q autre que ï, et entrant dans v avec un exposant b non divisible par /; au contraire, supposons son exposant a daijs [t. divisible par / ; on a alors par définition

l V, IJl J i [X i

et il en résulte, vu l'hypothèse du théorème 167, ]-' =; i ; donc (théorème 149) p est

iP) aussi dans C le produit de / idéaux premiers. ^ étant l'un d'eux, on a :pz=Nc(P).

Enfin, les idéaux premiers de c(u) facteurs du discriminant relatif de C sont toujours des puissances /''•'"** d'idéaux premiers de C et sont par suite aussi normes relatives d'idéaux de C. De tout cela résulte que v doit être norme relative d'un idéal ^deC : v = Nc(J9).

De plus, vu l'hypothèse du théorème 167, Jp appartient au genre principal de C et nous pouvons par suite poser, d'après le théorème 166,

î étant un idéal de c(Q et 3 un idéal de C. Si h est le nombre des classes d'idéaux de c(Q, on a j''^»^ 1 , et par suite A ^= ( ^rrzj ) doit être un nombre entier ou fractionnaire de C ; sa norme relative !Nc(A) est évidemment égale à ev'*, e étant une unité de c(v^). De la dernière égalité résulte, d'après le théorème i5i. que l'on a. pour tout

idéal premier %v de c(t), i := i, et par suite aussi ^^^ = i. Or, on a montré,

dans la première partie de la démonstration, que dans ces conditions e doit être norme relative d'un nombre de C; posons £ = Nc(H). H étant un nombre de C. h et e étant alors des entiers rationnels tels que l'on ait 6A + e/= 1, on a

v = N,(A*H-*vO.

et la démonstration du théorème 167 est ainsi complète.

Dans cette démonstration nous pouvons, dans les deux cas, restreindre l'application du théorème i5i au cas de tp=|=l, car d'après le théorème i63 les conclusions subsistent, même pour tt) = ï.

On est ainsi parvenu à étendre aux corps kummeriens réguliers toutes les propriétés déjà établies et démontrées par Gauss pour les corps quadratiques.