CHAPITRE XXXV

Nouvelle méthode pour la théorie d'un corps kummerien régulier.

S 166. — Propriétés esse>tielles des unités d'un corps circulaire régulier.

(v (xj Nous avons vu quel rôle important joue le symbole ]-—[ dans la théorie des corps

kummeriens. Pour la définition de ce symbole (paragraphe i3i) et la recherche de ses propriétés, du paragraphe i3i au paragraphe i33 nous avons, comme Kummer, introduit les dérivées de logarithmes des polynômes o)(x), adjoints à un nombre

(0^1, mod t. Les calculs des paragraphes i3i bis à i33 pour le symbole \—r~[ dans

les corps kummeriens correspondent d'ailleurs aux considérations du paragraphe 64

pour le symbole ( 1 du corps quadratique. Quoique nous soyons déjà parvenus

à réduire à de moindres proportions les calculs employés par Kummer, il me paraît cependant nécessaire, surtout en vue du développement futur de la théorie, de chercher s'il n'est pas possible d'édifier la théorie des corps kummeriens sans ces calculs. J'indique brièvement dans ce chapitre la marche à suivre.

D'abord on peut établir aisément sans calcul et sans les nombres de Bernoulli les propriétés essentielles ci-après des unités du corps circulaire régulier c(V). Rappelons-nous, pour le théorème i56, la dernière démonstration indiquée au paragraphe i4i-

Nous pouvons alors déduire, du théorème i56, le théorème i55 de la manière; suivante. Nous entendons par s,, ..., s,» un système quelconque de t unités réelles de c(0 ; nous déterminons alors des exposants positifs e,, ..., e^s et des entiers rationnels a,, ..., a^«, è,, ..., b^», vérifiant les congruences

z,. = a,. + b,.ri% (r^--).

Nous supposons que e, ait la valeur minima parmi les exposants e. Nous pouvons alors, on le voit aisément, multiplier les /* — i unités z^, ..., z'^^ par des puissances de e^, telles que ces /* — i produits e^, ... , î^'^, vérifient les congruences

les a' et les b' étant des entiers rationnels premiers à /, et les exposants e'^, ..., e'^ étant tous plus grands que e^. Les unités z^, s^, =3, ..., e^'^^ forment encore un système d'unités fondamentales dans c(Ç). Soit e'^ le moindre des e'; il est encore possible de multiplier les unités £3, ..., s^* par des puissances de e'^, de manière que les /* — 2 produits obtenus s", ... , t"^ vérifient les congruences

les a" et b" premiers à / et les e" tous plus grands que e'^.

Les unités e^ , e^, e", e^, ..., e"^ forment encore un système d'unités fondamentales de cÇQ. En poursuivant ainsi, nous arrivons à un système d'unités fondamentales de cÇÇ), c^, =2' ••• ' 4»''' vérifiant les congruences

les a et les 6 étant premiers à / et les exposants e^, ... , ej^'~'* vérifiant les inégalités

(162) e,<:e'^<el<...<:e\':-'K

Comme les unités considérées sont toutes réelles, tous les exposants e^, e\, ... sont pairs. Or, si on avait

ej'^f"" serait, d'après le théorème i56, la /'*'"'' puissance d'une unité Tj de c(^). En exprimant alors r, au moyen des unités ^, £^, t^, ..., e'/J*" ' sous la forme

les u étant des exposants entiers rationnels, et en élevant cette égalité à la Z'*"® puissance, nous obtenons une relation entre les f unités e^, s^, ..., £'/«""'' avec des exposants non tous nuls; ceci est contraire au fait que £^ , £^, ..., £|(f~'* forment un système d'unités fondamentales de c(C). Par suite, on a

11 en résulte, vu les inégalités (162), que Ton a nécessairement

et on en conclut immédiatement l'existence d'unités £^, .... £;« ayant les propriétés indiquées au théorème i55.

Le théorème 167 résulte, comme au paragraphe 142, du théorème i55.

8 167. DÉMO?iSTRATION d'uNE PROPRIÉTÉ DES NOMBRES PRIMAIRES

d'idéaux premiers DE SECONDE ESPÈCE.

Nous nous basons sur la définition du symbole |-^ — ^ donnée paragraphe i3i,

mais nous nous passons provisoirement du symbole |— 7^/; nous n'utilisons par

suite les théorèmes i5o, i5i que pour tt)=|=I. Les théorèmes i58 et iSg s'établissent alors immédiatement comme on Ta montré, si l'on fait l'hypothèse restrictive que le discriminant relatif de c{\/[)., Z) par rapport à c(Z) est premier à ï. Avec cette restriction, nous arrivons, sans employer le symbole 1—3— (, à la notion de caractère

d'un idéal de c\\/\)., Z), à la division des classes d'idéaux d'un corps kummerien en genres, ainsi qu'aux lemmes 33, 34, 35, et nous démontrons ensuite le lemme suivant :

Lemme l^3. — Tout nombre primaire 7. d'un idéal premier q de seconde espèce est congru mod ï' à la /'''™' puissance d'un entier de c(Z).

Démonstration. — Soient e,, ..., £,«, les /* = unités fondamentales du

corps c(Z) définies au paragraphe 166 et désignées alors par s^, ,.., e^'^f"''; soient ensuite p, p^, ... , p,» des idéaux premiers de c(0 autres que ï . tels que l'on ait

(i63) {iP,) ' ipj ^" iP,) ' "" (pj

Pl^) ' iplo) ' \pl«) \pl^^ ■'"

C*. w, , ..., 'Çi« étant des racines /'^""'^de l'unité quelconque autres que i. L'existence de tels idéaux résulte du théorème 162; en nous reportant à la démonstration de ce théorème, nous voyons que non seulement le nombre, mais encore la somme des inverses des normes de tous les idéaux premiers r y étaient infinies, et ceci nous permet, comme le montrent les considérations faites en démontrant le théorème 83. de supposer du premier degré dans le cas actuel tous les idéaux premiers p, p^, ..., p,e. Nous pouvons aussi supposer tous différents les nombres premiers rationnels divisibles par p, pj, ..., pit-. Soient z, 7:,, .... -,« des nombres primaires de ces idéaux. Occupons-nous maintenant du cas où il existerait t + i exposants entiers

u, u, , ..., u^«, non tous divisibles par /, tels que l'expression a^T:"::"^ ... 7:"J* soit congrue mod I' à la /'''"'' puissance d'un entier de c(Q. D'après le théorème i48, le discriminant relatif du corps kummerien c{\/a., ^) renferme alors comme facteurs un certain nombre / des idéaux premiers p, ..., :p^«, mais non l'idéal t. D'autre part, il résulte de (i63) et du théorème i5i que le degré m de la famille des unités de c{t),

normes relatives d'unités de c(v/a, Z) , est au plus = /; on aurait alors pour le

corps kummerien c(y/a, 'ç)

ce qui est impossible d'après le théorème i58. Le cas envisagé est donc impossible. Soit X un nombre primaire de l'idéal premier q . Nous déduisons de la démons-

tration du théorème 107 qu li existe exactement — , nombres primaires

de c{t) incongrus, mod V~\ et, par suite, (/— 1)/''+' incongrus, mod t'; d'autre part, la /'^""' puissance de tout entier de c(Q premier à ï est congrue mod t' à l'un des / — I nombres i, 2, ... , / — i. De ce qui précède résulte alors qu'il est toujours possible de déterminer les exposants u, u, , ..., u,» de manière à ce que l'expression lj. = 7:"7:"' ... -"jf* y. soit congrue, mod l', à la /''"* puissance d'un entier de c(c); II, u, . ..., M^» étant ainsi déterminés, posons a = y." ... /."j-, de sorte que ;j. = ax, et occupons-nous maintenant du cas où un certain nombre positif a des exposants u,

11^, ..., u,« sont premiers à /, les a autres étant divisibles par /. On aurait

alors, vu (i63), pour le corps kummerien c\\J\j., Z), avec les notations du paragraphe 149, / = «+ I, r*=^a, r=t — r*=i, et, par suite, d'après le lemme 35, toutes les classes d'idéaux de ce corps sont du genre principal. D'où le résultat suivant : r étant un idéal premier quelconque de c(Z), tel que l'on ait — ( = i, et p

désignant un nombre primaire de r, le nombre çp aura, avec un choix convenable de l'unité H, tous ses caractères égaux à i dans le corps cyyu., l!) ; on a donc en particulier

( ï ) et comme q est idéal de deuxième espèce, on a aussi — = i-

( q ) Désignons maintenant les idéaux premiers conjugués de q et autres que q par

q', q", ..., et les substitutions du groupe de c(Q changeant q en q', q", ... par s',

s", ... ; h et h* ayant alors la signification du paragraphe 149 et ^ étant le nombre

premier divisible par q, on a, vu la remarque à la fin du théorème 167,

y..{s'vL).(s"7.)... = 'Jq'"'\

THÉORIE DES CORPS DE NOMBRES ALGKBRTQUES. l\3\)

£ étant une unité de c(^). Vu notre hypothèse sur les exposants u, u^, ..., u^<i, les idéaux p, ... , p^a étant du premier degré et les nombres premiers qu'ils contiennent étant distincts, nous pouvons conclure du théorème i52 qu'il existe dans c(Q un idéal premier r tel que l'on ait

i,* étant une racine l'*""^ de l'unité autre que i. Ces égalités (i64) donnent de suite

La première égalité (i65) donne, d'après ce qui précède, — = i, et les suivantes

donnent de même ^ — -== i, --> = i, ... ; d'où, en faisant le produit, \ — == i, ce

qui est incompatible avec (i66), vu le théorème i4o.

Notre point de départ est donc faux et tous les exposants u, «,, ..., Uf doivent être divisibles par /; a est donc la Z'^""® puissance d'un nombre de c(C); on en déduit que 7. est congru à la Z'^'"'' puissance d'un entier de c(u), mod t', ce qui démontre le lemme /jS.

S i68. — Démonstration de la loi de réciprocité pour les cas ou l'un des deux

IDÉAUX premiers EST DE SECONDE ESPÈCE.

Lemme l\k- — Soit q un idéal premier de seconde espèce et r un idéal premier de première ou de seconde espèce de cCC) ; alors si \ — ^ i, on a aussi \ — ( = i •

Démonstration. — Soient x, p des nombres primaires de q, r. D'après le lemme 43, le discriminant relatif du corps cysjy,, u) ne possède (théorème i48) qu'un seul facteur premier q et tous les idéaux de ce corps (lemme 35) appartiennent alors au

genre principal. Comme on a j — ^ i, t est dans le corps c\\/ , z) le produit de

/ idéaux premiers; nous avons pour le caractère d'un de ces / idéaux premiers la valeur

(p, xj i r '

ce qui démontre le lemme.

Lemme 45. — <{, q étant deux idéaux premiers quelconques de seconde espèce de

iq] ( q 1 c(Z). on a toujours -=,-/.

(q] Démonstration. — - est =|= i (le cas contraire venant d'être démontré). Soient

X, X des nombres primaires de q, q ; q', q", ... les idéaux premiers conjugués de q et distincts de ce dernier; y,', y.", ... les nombres primaires correspondants conjugués de X. Mêmes notations avec — pour q et x. Soit enfin q le nombre premier divisible par q ; on a alors xx'x" ... =: z'q'^'"', s étant une unité de c(Ç). D'après le théorème 162, il existe un idéal ï pour lequel on a

<■«') \iH' ItI=- ItI=- •■■■•

('69) ivi = '' i^i = '' \v\ = ''^ •••• ]f\-''

L* étant une racine Z*^"'* de l'unité autre que i de c(Q et où e^, ..., £,« désignent les r unités désignées par $,, s,, ... , e*»~'* au paragraphe 166. De (167) on tire

et par suite aussi, p étant un nombre primaire de t (voir théorème i^o),

lfl=iil!7llf'î-=^"-

D'autre part, on a, vu (167) et le lemme 44.

et par suite on tire de (170) : -^ = — \ = l*. On a donc

(171) *JLi = i LL|-

On tire de même de (i68) la relation

Déterminons maintenant la puissance p* de p de façon que l'on ait \^^ [ = i, et

considérons le corps kummerien c[\/y.p^, z). Comme q par hypothèse et r à cause de (169) sont idéaux de seconde espèce, il résulte du lemme 43 que le discriminant relatif de ce corps ne contient que les deux idéaux premiers q et r. Le corps c{\/y,p^, l) contient alors au plus / genres (lemme 35). L'idéal premier r est la /'^™^ puissance d'un idéal premier 91 de c{\/y,p^, z). Les deux caractères de 9*1 dans ce corps sont

{ q S US' î ï ! (t) i t) '

et on en déduit les caractères de 9Ï*, 9*1', ... , 91'.

Les /idéaux 91, 91*, ..., 9ï' déterminent, vu (171), /genres différents et le produit des deux caractères de chacun d'eux est égal à i d'après la même formule. Ce dernier

résultat est par suite vrai pour tout idéal de c{\/y.p", Z). Comme on a ',^[ = 1, q est décomposable dans cyyy.ç^, ç); les caractères d'un facteur premier de q sont :

et par suite on a