ys/}
\^'y-pl
Comme on doit avoir, d'autre part.
on en déduit, d'après 172,
q iq
Lemme 46. — Soit p un idéal premier de première espèce et q un idéal premier de seconde espèce de c(l) ; si l'on a I - = r, on a aussi - ( = i .
(q) ip)
Démonstration. — Soient r, C des nombres primaires de p, q. Supposons que l'on q
. ip) ait j-v =1= I. Il existe (théorème i52) un idéal premier v, différent de p et de q, pour
Fac. de T., 3e S., IL 56
lequel on a
£, , ..., £;« étant les unités s.^, z,', ... du paragraphe 166.
A cause de (174). t est idéal premier de seconde espèce; p étant un nombre primaire de r, on a I — , =|=i, car on déduirait de — =1. à cause du lemme 44.
j-| = I. contrairement à (173). Nous pouvons alors déterminer une puissance ç" de p
i "* 1 telle que l'on ait \-^\ = 1. r, <| étant idéaux premiers de seconde espèce, il résulte
du lemme 43 et du théorème i48 que le discriminant relatif du corps c(y xp^, ç) ne
contient que les deux idéaux premiers q, r. Or, on a d'après (173) <-[ =|= i, et d'après
( ^ ) le lemme 45
et il en résulte, comme dans la démonstration du lemme 45, que le produit des deux
yy-p*. Cj est égal à i. Vu ^ ^ i. 1) est décomposable dans c(v/y.p*, 'C) ; tout facteur premier de p a les deux caractères
Le premier étant par hypothèse égal à r, il faudrait que j — [ fut égal a 1, contrairement à (173)
Notre hypothèse -[ H= i est donc fausse.
Lemme 47- — q étant un idéal premier de deuxième espèce et f) un idéal premier de première espèce, on a toujours
Démonstration. — Nous procédons, comme dans la démonstration du lemme 45, en introduisant p au lieu de q et utilisant, dans le cours de la démonstration, le lemme 46 au lieu de 44 pour établir la relation correspondante à (172).
THÉORIE DES CORPS DE NOMBRES ALGEBRIQUES. f\t{3
S lOq. — Lemme sur le produit II' ", — - } étendu a tous les idéaux premiers M) =|- Ï,
( tt) )
Lemme 48. — v, \>. étant deux entiers de c(Ç) premiers à (, [x étant de plus congru, mod 1', à la /'^'"•' puissance d'un entier de c(Ç), on a toujours
(UJ) ( » )
le produit étant étendu à tous les idéaux premiers tt) de c(Ç) =|= ï .
Démonstration. — Vu les hypothèses, [a peut être mis sous la forme d'un produit de nombres primaires d'idéaux premiers divisé par la /'^'"* puissance d'un nombre de c(Ç). Si V est en particulier égal à un nombre primaire y. d'un idéal premier q de deuxième espèce, le lemme résulte immédiatement des lemmes 46 et 47. c'est-à-dire qu'on a, avec l'hypothèse faite sur [j.,
(175) ii'S^i = i..
Considérons maintenant le corps kummerien c{\/[i., Q. r étant le nombre des caractères distinctifs d'un genre de ce corps, il existe, d'après le lemme 35, au plus r~' genres dans ce corps, y^, .... y^ étant alors r racines /'^"""^de l'unité dont le produit soit égal à i, nous pouvons démontrer, exactement comme dans la démonstration du théorème 164, qu'il existe toujours dans c{y [j., z) des idéaux dont les caractères sont y,, ..., y^. 11 n'y a qu'à ajouter aux conditions (i55), (i56), auxquelles doit satisfaire l'idéal désigné par p, les conditions supplémentaires
£,, ..., zf. désignant les unités e^, ..., sJ'-T"*' du paragraphe 166. De cette façon, on trouve de même que p doit être un idéal de deuxième espèce et nous avons alors le droit, d'après les lemmes 45 et 47. d'appliquer la loi de réciprocité de la même manière qu'on l'a fait dans la démonstration du théorème 164. Au lieu du théorème i63 qu'on y a employé, nous utilisons ici la formule (175). Il en résulte en même temps qu'il y a effectivement /'"' genres dans c\\/{j., z) et, par suite, que le produit des r caractères doit être égal à i pour chacun d'eux. Appliquons maintenant ces résultats à la démonstration du lemme 48 dans le cas où v est unité, puis dans celui où v est nombre primaire d'un idéal premier de première espèce.
Soient encore e^, ..., s^« les unités dont il vient d'être question; (, , ..., I^ les t idéaux premiers distincts qui entrent dans le discriminant relatif de c(\/ [x, Z), et
choisissons, comme au paragraphe 149, ï^, I(, ï,.^, ; soient 1^, ..., À^.^^ des
nombres primaires correspondants et ç une unité quelconque de c(Q. D'après le théorème i52, il existe un idéal premier q et un exposant m premier à /, tels que l'on ail
Soit X un nombre primaire de q. Vu l'égalité ]-=i, q se décompose dans
c(\/|j., ^), et, d'après les autres conditions (176), q est idéal premier de deuxième espèce. Les r caractères d'un facteur premier de q ont, comme on voit d'après (177) et les lemmes l^o et 47 que l'on a :
les valeurs suivantes :
i t, y i K y il)
Or, d'après ce qui précède, leur produit doit être égal à i ; ceci, joint à (178) et à la dernière égalité (176), donne
ir^-^^ =1.
ml tt> )
le produit s'étendant à tous les idéaux premiers W) différents de (; on en tire, grâce
(170) ll'l- — ^ =1, c'est-à-dire H' p^^ = i ;
le lemme 48 est donc démontré quand v est une unité quelconque de c(t).
Soit ensuite p un idéal premier de première espèce, vérifiant la condition j-/ = i
et, par suite, décomposable dans c(v/[Â, ç)- Les r caractères d'un facteur premier quelconque de p sont :
7: désignant un nombre primaire depetç une unité convenable de c(Q.
Leur produit devant être égal à i, il en résulte encore
et on en tire, vu (179),
Enfin, si p est un entier premier de première espèce premier à p,, tel que l'on
ait | — (=1-1, on déterminera un idéal premier <\ de seconde espèce tel que l'on ait
|| =|- 1. Alors, d'après le lemme 44, on aura aussi | — [ =|= i- /• désignant un nombre
primaire de q et 7/ une puissance de y. telle que l'on ait |^— - =1, on a, d'après ce qui précède,
m i to )
et comme on a aussi, d'après le lemme 47.
m i ^ ^ i p ) i (\ ) on a encore
le lemme 48 est donc aussi démontré lorsque v est un nombre primaire d'un idéal de première espèce. Des égalités (175). (179)» (180) résulte sa complète généralité.
S 170. — Le symbole |v, u.| et la lot de réciprocité entre deux idéaux premiers
