QUELCONQUES

Nous arrivons maintenant d'une manière très simple à la nouvelle base de la théorie des corps kummeriens réguliers annoncée au début de ce chapitre. Posons, V et [j. étant deux entiers de c(Z),

le produit n étant encore étendu à tous les idéaux premiers de c('C) différents de I;

44(> D. HLLBERT.

le symbole jv, [/.j représente ainsi une racine /'"'"*' de l'unité complètement déterminée par les nombres v, ])., et on tire de (80) les formules

(•82) j |v, [^,1^.4 = jv, ^j |v, [X,j,

V, V,, V,, ]j., jj-, , [Xj étant des entiers quelconques de c{Z). r désignant ensuite une racine primitive mod / et 5 = (Ç ; 'C) la substitution correspondante du groupe de c(0, on a (i83) j^v, 517.J = jv, i;,!"".

On a ensuite la proposition

Lemme 49. — Siv, 1;, sont deux nombres primaires de c(Q, le symbole |v, ai a tonjours la valeur i.

Démonstration. — On a d'abord, a étant un entier rationnel quelconque premier à < et à V (théorème i4o), l'égalité

(i84) {v,at ' "

\}. devant être primaire, \}..s '^ [x est congru mod I'~' à un entier rationnel. On peut, par suite, déterminer un entier rationnel a tel que l'on ait la congruence

et que de plus a soit premier à v. On obtient alors, en appliquant le lemme 48,

|v, a| |v. y.| |v, s - [jl| = |v, a.jx.s 2 ij,| z= i ,

et par suite aussi, vu (184).

On démontre de même

•|v, 6-2 [J.j 15*^7, S - [jJ =

Puis on tire de (i83)

Les trois dernières égalités réunies donnent

|v,ij,|*=i, c'est-à-dire |v,[jJ = i. C. q. f. d.

Si l'on choisit, en particulier pour v, y., des nombres primaires de deux idéaux premiers quelconques p, (| de c(Ç), l'énoncé du lemme 49 est équivalent à la loi générale de réciprocité 161 pour ces idéaux premiers.

S 171. — Coïncidence des symboles |v, \).\ et ]— -^[•

Nous déduisons du théorème i5i, dont le cas tt)z|i:I est seul utilisé, que jv, \).\ a toujours la valeur i si v est norme relative d'un entier du corps c[\/ij., ^); et nous arrivons enfin maintenant à montrer que la, [xl a aussi la valeur i si x est reste de normes du corps c\\/[j., Z). En- effet, supposons pour abréger que les deux nombres a, [A soient premiers à I et posons a^Nc(A), mod I'. A étant un entier de c{\/ii., ^), le nombre a.(Nf(A)'~* est évidemment congru à la /'^"* puissance d'un entier mod I': par suite on a, en utilisant les formules (183), les remarques faites et le lemme 48,

•ja(N,(A)y-,u.! = ja, i.j|N,(A),:.î'-' = |a, a| = i,

comme nous l'avions annoncé. Si l'un des nombres a, u. ou tous les deux sont divisibles par t, la démonstration se fait aussi sans difficulté au moyen des mêmes procédés.

Si !j, est un entier de c(^) premier à ï, on tire aisément de (i8i)

par suite, l'expression jv, y.j remplit toutes les conditions que remplit le symbole \—7-i (^^^ du S 1 33); on a donc, en prenant la définition du symbole -^ donnée paragraphe i33,

on retrouve dans cette égalité le théorème i63.

Si les deux nombres v, <x sont premiers à ï et que v, â désignent des entiers de c(^) vérifiant les congruences

V ^ V , [X ^ TZ , (mod l') .

on obtient facilement, à l'aide du lemme 48,

M il)'

De là et de la considération des formules (182) nous tirons le résultat suivant :

Si les deux nombres v, [a sont premiers à I et si l'on pose

• V = a'( I + 1)\ ( I + ly- . . . (i + À'-)"'-' , (mod ï') , ;j. = 6'( r + X)'"^ ( I + A*)"'^ . . . ( I + X'-')"''-i , (mod I') ,

n. h et les exposants n et m étant des entiers rationnels, on a une égalité de la forme

L étant ici une fonction bilinéaire homogène des deux séries de variables n, , ..., «/, . Wj. •••. "i;i. et les coefficients de L sont des entiers rationnels ne dépendant que du nombre premier / et faciles à calculer pour une valeur donnée de / en prenant des valeurs particulières pour v et [x.

Après avoir défini le symbole j— 7^ et établi ses propriétés. les plus importantes,

nous pouvons laisser de côté la restriction maintenue jusqu'à présent dans ce chapitre pour les corps kummeriens d'avoir leur discriminant relatif premier à ï: c'est ce qu'on parvient à démontrer, comme plus haut, en s'appuyant sur les théorèmes 164, i65, 166 et surtout sur le théorème fondamental 1G7. Ce dernier et le théorème 162 permettent de montrer ensuite que v, \j. étant deux entiers quelconques

de c(u), tels que l'on ait j—^— [ = 1, et que a ne soit pas égal à la P'"" puissance d'un

nombre de c(Q, le nombre v est toujours résidu de normes, mod I, du corps kummerien c(v/[x, Cj- Par suite le théorème i5i est vérifié par surcroît pour tt) = I, ainsi par conséquent que le théorème i5o pour tt) ^ I . Avec cette nouvelle manière d'édifier la théorie des corps kummeriens réguliers, ces théorèmes i5o et i5i pour tt) = l jiaraissent les clés de voûte de toute la construction, contrairement à la première méthode.