RÉGULIERS

Fermât a émis l'assertion que l'équation

est impossible en nombres entiers a, b, c différents de o pour tout exposant entier m>» I. Bien que déjà avant Kummer on ait obtenu des résultats isolés remarquables sur cette équation de Fermât [Abel', Cauchy''-, Dirichlet'-^'^, Lamé''-'^ Lebesque''^'-^], c'est pourtant Kummer qui est parvenu le premier, en s'appuyant sur la théorie des idéaux des corps circulaires réguliers, à démontrer le théorème de Fermât pour des classes très étendues d'exposants m. Le plus important des résultats de Kummer est le suivant :

Théorème i68. — / étant un nombre premier régulier et a, p, y des entiers quelconques du corps circulaire des racines /'^™*'*de l'unité, dont aucun n'est nul, on n'a jamais l'égalité

[Kummer ''«-'.]

Démonstration. — Soit L = e~, X = i — Z, t^Çk). Supposons que l'équation (i85) ait une solution en nombres entiers a, ,S, v du corps c(w) et distinguons les deux cas où aucun des trois entiers a, &, y n'est divisible par I et celui où l'un au moins des trois est divisible par ï.

Dans le premier cas, on doit en tout cas exclure les valeurs 3 et 5 pour l'exposant /. En effet, pour /^3 chacun des trois nombres a, p, y serait ^1+3 i, mod ï, et par suite chacune des trois puissances a% ,&', y'^^H i, mod V; la somme a' + &^ + y' serait donc congrue à + i ou à + 3, mod V, ce qui est incompatible avec l'équation (i85). On arrive à une contradiction semblable avec /=ô, si l'on considère que dans ce cas chacun des trois nombres a. p, y est congru, mod î, à zt i ou ita, et par suite chacune des trois puissances a*, p", y' devrait être congrue à ± i, -1-32. mod r (1).

Soit donc /^ 7. Si l'équation (i85) est vérifiée par les trois nombres a, p, y, on a évidemment aussi a*' -f 8*' 4- y*' = o, en désignant par a*, p*, y* les produits de a. S, y par des racines Z'^™®* quelconques de l'unité. Cela étant, nous pouvons dorénavant admettre que les trois nombres a, ,8, y vérifiant l'équation (i85) sont semi-primaires. Mettons alors l'équation (i85) sous la forme

(186) (a + S)(a-hC?)(a + ^?)•••(« + C'"'?) = -Y^

Si deux facteurs du premier membre, par exemple x -{-l"p et a 4- Ç"^^^, avaient un facteur commun, celui-ci devrait aussi diviser (t," — i)a et (i — lf)p, et comme

^ est une unité et que I ne divise pas y, ce facteur commun devrait nécessaire-

(') N. T. — Pour /=7, la coDtradiction relevée dans le premier cas pour / = 3, /^5 n'existe pas. En prenant, en effet,

a^ — I, P ^ — 2, y ^4-3, mod ï ,

on a

a'= — I, f5'= — 128, y'=-f2i87, mod(r=7.I), et

o ^ a' + fi' -f y' ^ 2o58 ou 7X294 = 7X7x42, mod 7.Ï, ou

7 X 42 ^ o, mod I, congruence qui est vérifiée.

Fac. de T., 3e S., II. 67

45o U. HILBERT.

ment appartenir aux nombres a et [i. Tout facteur premier ne figurant que dans un seul des / facteurs du premier membre de (186) doit évidemment, d'après cette équation même, avoir un exposant multiple de /; les / facteurs du premier membre de (186) se décomposent donc comme suit :

a+li =i'a,

a + CP =i[a.

a désignant le plus grand commun diviseur idéal des nombres a et p, et j, j^

i,, des idéaux de c(Q. Comme a4-C'~'fi, en particulier, est premier à ï, on peut déterminer une racine /'^""^ de l'unité C*. telle que Ç*(a -f ^'"'fi) soit semi-primaire.

Posons

On obtient alors

c'est-à-dire que l'on a J

iV . fi.\' . /"'.V

t;J~'- ièJ~' '^'^■'

et on a de plus

/i désignant le nombre des classes d'idéaux de cÇ^), on a, d'autre part,

et, comme h esl premier à l, on en déduit

h-i ii-i h-i

Par conséquent, on peut (voir théorème 127, § 98) mettre les relations (187) sous la orme

THÉORIE DES CORPS DE NOMBRES ALGEBRIQUES. l\^l

les e„ désignant des exposants entiers rationnels, les e^^ des unités réelles du corps circulaire c(Q et les a^ des nombres de c(Q entiers ou fractionnaires à numérateurs et dénominateurs premiers à I. La P^'"" puissance du nombre a^^ étant toujours congrue à un certain entier rationnel a^, mod l'(*), on tire des égalités (189) les congruences

(igo) :..-i-ç"p^r"s„a„. (I'), (« = o,,,. .-.,

Effectuons dans ces congruences la substitution (Ç .* ^') et désignons par [j.' et p' les transformés de \). et p par cette subsj^itution; il vient

De (190) et (191) résulte

En posant <j.^m. p ^ '", mod I*, m et r étant des entiers rationnels ("-), il résulte

■ (•) N. T. — La puissance /'^™^ de tout nombre a de c{X) est congrue mod V à un certain entier rationnel a .

En effet, a peut être mis sous la forme