I. cr

c'est-à-dire

Aucun des facteurs du premier membre n'est égal à o. car autrement on aurait soit r^o, soit r^i, soit r^^, mod /. Si l'on avait r^o, mod /, il en résulterait fi^o, mod ï; si l'on avait r^i, mod /, il en résulterait p^i, mod I, c'est-àdire p^ X + fi ou a^o, mod I. Dans les deux cas c'est impossible, vu notre hypothèse sur les nombres a, p, y. Si l'on avait r^^, mod I, on aurait p^^, mod ï, c'est-à-dire 2p^a-}-p ou a^,S, mod I. Mais comme a, p, y entrent symétriquement dans l'équation (i85), on aurait aussi a^p^y, mod (, et par suite

a'-fp' + y = 3a = o,

c'est-à-dire a^o. mod I, contrairement encore à l'hypothèse. Chaque facteur du premier membre de la congruence (19/î) est par suite divisible par ï, mais non par V; cette congruence est donc impossible, puisqu'on a l^']-

Supposons maintenant, en second lieu, que dans l'équation (i85) l'un des trois nombres a, S. y, par exemple y, soit divisible par I et contienne ce facteur à la An'^'"*' puissance. Si l'on renjplace alors y par X"'o, B étant un entier de c(t) premier à t, l'équation (i85) prend la forme

(195) a'4-[i' = sV"'û',

£ étant ici égal à — i. On va montrer qu'une équation de cette forme (igS) est même impossible, a, fi, c étant des entiers quelconques de c(l) premiers à t et e une unité quelconque du corps circulaire c(Ç). Pour cela, supposons encore les nombres a, ^

THKORIE DES CORPS DE NOMBRES ALGEBRIQUES. 4«^'^

semi-primaires et observons d'abord que a', p' sont congrus à des entiers rationnel^, mod l'^\ et que, vu (igô), £X'"'S' doit aussi être congru à un entier rationnel, mod ï'^' ; m doit donc être > i. On trouve ensuite, par des considérations analogues à celles du cas précédent et en tenant compte de ce que a + ^ est semi-primaire, les égalités

où î, j,, ..., i,, . a sont des idéaux premiers à ï de c(Ç)- Si 1=3, le nombre de classes h du corps c(Z) est égal à i et, par suite, tout idéal de c(Ç) est un idéal principal. En posant dans ce cas a^(y.), y. étant un entier de c(Q, et ensuite

les égalités (196) deviennent

(197) j p. + SP =^ïl.

{a + rp = Xi^.

Dans le cas de />»3, formons les nombres

aX bX

a + r'.8 "^ ot + r'r

on peut aussi les mettre sous forme de fractions dont le numérateur et le dénominateur soient premiers à ï. Les trois premières et la dernière des égalités (196) nous donnent

jx-fp = x"'"-'»-('j-y,

(198) {î^ + Cp =>^(A

^ + ^'^=Kè)'

Nous en concluons encore

et par suite nous pouvons mettre les égalités (198) sous la forme

(199) ( !^ + Cp =

V, a*, p*, Y* étant des entiers de c(Z) premiers à I et £ et e* des unités de ce corps. A cause de (197), on a également, si /=3, un système comme (199). En éliminant y. et p, on obtient, aussi bien pour /=3 que pour />3, une équation de la forme

(200) a*' + 7iS*' = r;X'<"'-V,

OÙ -ï] et -r* i égales à ^e et à — ^i* j sont des unités de c(Q. a*', fi*' étant

congrus mod I' à des entiers rationnels et m étant >> i, comme on l'a démontré, il résulte de cette équation (200) que r, aussi doit être congru à un entier rationnel mod t', et par suite (théorème i56, § i/ji) t) est la Z'^'"" puissance d'une unité de c(l). En mettant alors f'*-r\~~i à la place de jis* dans (200) cette équation prend la forme de (195), sauf que l'exposant m a diminué d'une unité. En continuant ce procédé, on finirait par arriver à une équation de la forme (190) avec m= i, et par suite par arriver à une contradiction. Le théorème 168 est donc complètement démontré.

§ 178. — Autres recherches sur l'impossibilité de a'" + fi"' + y"' = 0.

Kummer a encore donné la démonstration de l'impossibilité de l'équation

en nombres entiers a, ^, y du corps circulaire des racines l'*"^^^ de l'unité, dans le cas où / est un nombre premier divisant le nombre de classes h du corps circulaire c\e ' /, h n'étant d'ailleurs pas divisible par fC). [Kummer '^] D'après la remarque paragraphe 189, le théorème de Fermât est donc reconnu exact pour tous les exposants a?i<^ 100. La démonstration de la proposition de Fermât dans toute sa généralité est encore à trouver.

11 reste encore à traiter le cas où l'exposant m est une puissance de 2. L'équation a^-|-6^ = c* a, comme on sait, une infinité de solutions en nombres entiers rationnels a, b, c. Cependant, on a ensuite le

(') N. T. — Voir, pour cette démonstration, la note VI.

THÉORIE DES CORPS DE NOMBRES ALGÉBRIQUES. l\55

Théorème 169. — a, ,3, y étant des entiers =|=o du corps quadratique déterminé par i = v/ — I , on n'a jamais l'équation

Démonstration. — Admettons qu'il existe, au contraire, trois entiers a. p, y vérifiant cette équation. Posons X=i 4-^ et I = (X). Nous voyons d'abord facilement que l'un des deux nombres a, ,8 doit être divisible par X. En effet, admettons que a et p soient premiers à X et observons qu'un entier de c(j) premier à X est toujours ^ I ou t, mod V; son carré est par suite ^+1, mod I', et sa quatrième puissance est ^ I mod V. 11 en résulte a* -f &*^2, mod V. Par suite, y devrait être divisible par I et non par V. Mais si nous posons en conséquence y = X + XV', y étant encore un entier de c{i). nous trouvons y*^ 2/, mod t*, et par suite toujours y*E|Ea* + H\ mod V, contrairement à l'hypothèse. Le cas où les deux nombres a et ,3 seraient divisibles par I peut évidemment être exclu de suite, car alors y serait divisible par V et on pourrait supprimer la puissance X* dans les deux membres de l'équation (201).

11 ne reste donc que le cas où un des nombres x, j3, par exemple a, est divisible par ï, p et y étant au contraire premiers à J. Nous posons a = X"'a*, où a* est un nombre premier à X , et nous considérons l'équation plus générale

(202) fi' — y' = zl""x'\

£ désignant une unité de c(i). Nous déduisons de cette équation (202), en changeant au besoin y en — y, deux équations de la forme

où 7), j sont des unités de c(JÇ), a' et fi' des entiers de c(i) premiers à ï. En additionnant les deux équations (2o3) et divisant le résultat par j a*, on obtient une équation

(2o4) P'* — yfi'=VX*'"-*a'*

où j', t/ sont des unités de c(i). Si m était égal à i, cette équation serait sûrement impossible, car p', j', p, t,', a' sont tous ^ i mod 1. Donc on a m >> i. Mais alors on déduit de cette équation (204) la congruence j'^ i mod I*; par suite, on a j' = it: i- En posant ,3 = y' ou p=:iy, suivant que j= -f- i ou — i, l'équation (20/i) prend la forme (202), à part que m a diminué de i. En continuant ainsi, on arrive à une contradiction.

On déduit immédiatement du théorème de Fermât pour /=3 qu'il n'existe au

cune équation du troisième degré à coefficients rationnels et de discriminant i en dehors des deux suivantes :

x' — xzt^ = o

et de celles qui s'en déduisent par la substitution x = x'-{-a (a étant rationnel). [Kronecker**.]

On peut, comme Hurwitz, exprimer le théorème de Fermât en disant que l'expression \/i — x"' représente toujours un nombre incommensurable pour m entier > 2 et x fractionnaire positif.

^NAAAAAAO/

THÉORIE

DES

iMEMOlHE de M. David Hilbkht,

Professeur à l'Université de Gœttinc^en.

NOTES DE MM. G. HUMBERT ET Th. GOT.