G. HUMBERT. NOTE III

Pour établir le théorème de Minkowski dans le cas où les/^ ont leurs coefficients entiers, il suffira donc de l'établir pour le système réduit. On peut le faire directement, mais c'est compliqué à cause des cas et sous-cas à distinguer. Mieux vaut raisonner autrement.

Deuxième partie. — Disons que deux formes linéaires et homogènes en x, y, z à coefficients entiers sont équivalentes ou congrues (modd/.) si leur différence est du lype >,/, + > J, + \f, , les l entiers.

Si 0 est une telle forme, les cp + )>,/,+ X^^/^ + X^/^ , çont donc congrues à cp (modd/,).

Soit '1=9 i- ?,/ -r "/.^/j + /j/s- cp étant donnée; on peut choisir les 1^ de manière que, dans •\ (on dira que •]/ est réduite) :

1° Le coefficient de z (qui est celui de z dans a, augmenté de C\^, soit compris entre o inclus et |C| exclus;

2° Xg étant ainsi déterminé, on peut choisir a^. de manière*que le coefficient de y soit entre o inclus et B exclus ;

3° Choisir X, , de manière que le coefficient de x soit entre o inclus et A exclus.

Alors les formes •} réduites sont au nombre ûfe |C|BA distinctes. |C|BA est A , déterminant des /, , et, d'après le calcul précédent, toute forme équivaut (modd/.) à une et une seule réduite. Donc il y a |A| Jormes et \^\ seulement non congrues deux à deux, modd//. parmi elles, celle dont les trois coefficients sont nuls.

Ce résultat obtenu par la réduction des / est évidemment vrai pour des / non réduites, puisque deux formes congrues (modd/) le restent si on opère sur lesx, y, z une substitution de déterminant ± i.

Reprenons alors les / initiales. Le théorème du nombre des classes de formes linéaires modd / s'applique dès lors aux formes de déterminant A :

Soient /'" et (r 4- i)' les cubes positifs d'entiers consécutifs qui comprennent |A|, de sorte que r^<^ |A| <C(r+ i)''; considérons les formes <i,=^l^x + l^y + l^z, où l'on a o<^(/,, /j, l.j)<^r. Elles sont (r -\- i)% y compris la forme nulle. Comme (/• -j- i)'> I- |, deux des o sont congrues entre elles modd F,, leur différence est donc ^i^^i + ^i^i + ^3 1^3' l^s ^ n'étant pas nuls à la fois, car les deux cp sont distinctes. On a donc pour des valeurs des /. entières non nulles à la fois, — car les deux ç sont distinctes, — et comprises entre — r et + r inclus :

rja^x + a^y + a^z) + \(b^x + ...) + \(c^x + •••) = 'i^ + KJ + K^'

d'où

les |/,| étant -^ r, c'est-à-dire <^ ] A| "* et les 1^ non nuls à la Jois. Le théorème de MinkoAvski est donc démontré pour des/^ à coefficients entiers.

Troisième partie. — Il est vrai pour des/, à coefficients fractionnaires, car si S est

le dénominateur commun des coefficients, posons /. = —^, le determmant des F^

est S^A . Le théorème étant vrai pour les F^ (dont les coefficients sont entiers), on peut trouver x, y, z entiers de telle sorte que |Fj|<^S|A|^; donc, pour ces valeurs de a;.y, z,onaI./;K|A|\ C. q. f. d.

Quatrième partie. — Soient les/ à coefficients quelconques et de déterminant + i . Nous allons obtenir la démonstration en suivant maintenant un procédé d'Hilbert, qui consiste à comparer les formes / à des formes cp^ à coefficients rationnels, suffisamment voisins des premiers. [Voir, par exemple, Sommer.] Soient

f.=^a^x -^hj + c^z, (i = i,2,3).

Je dis qu'étant donné un nombre positif 5 aussi petit que l'on voudra, il est possible de trouver un nombre s positif et inférieur à 8 , tel que, en faisant varier tous les coefficients, sauf un, de quantités inférieures ou égales à e en valeur absolue, on n'aura à faire varier le dernier en valeur absolue que de moins de o pour que le déterminant des formes reste égal à -f i.

En effet, ce déterminant n'étant pas nul, l'un au moins de ses mineurs d'ordre deux n'est pas nul, soit, par exemple, a, 6, — a^ 6, =|= o . Soient a^ , Ô^ , y, les quantités dont nous faisons varier a^, b^, c^. En écrivant que le déterminant reste égal à i. on a

T3[(«. + «.)(^ + 8.) - K + \)ip, + m = ^^.A,,

le second membre contenant toutes les variations a^, ,3^, y^, sauf v^ et les A^, B^, C, dépendant des a^, h., c, et de leurs variations (sauf toujours y,). Il est clair qu'en prenant pour la plus grande valeur absolue de ces variations (sauf yj) un nombre e

suffisamment petit, on aura [y^l «c^eK, K étant un nombre positif ne dépendant que

des a,, ôj, c^. Ecrivant eK <C 5, c'est-à-dire t<i— , on voit que les variations (saufyj)

restant inférieures à s, \^(^\ restera inférieur à 3, et on peut supposer £«<8, parce que si — > c , on ne prendra que les valeurs de s inférieures à 8 , lesquelles conviennent a fortiori.

/j()8 G. HUMBERT. NOTE III.

Faisons de plus les modifications de manière à rendre rationnels tous les coefficients, sauf c^, et modifions c^ de manière que le déterminant reste + i : Cj deviendra rationnel par le fait même que les autres coefficients le sont, ainsi que le déterminant. On aura alors trois formes cp,, cp^, cpj, dont les coefficients diffèrent de moins de o de ceux des /, , /^, f^, et telles, d'après la troisième partie, que pour des valeurs des X, y, z, non nulles à la fois, on ait |cpj <^ i, (f = i, 2, 3).

Observons maintenant que les systèmes de valeurs entières des x, y, z, qui peuvent rendre les [/J ^ i , sont en nombre limité. Car si l'on pose/^ = î/;. , (/= i, 2. 3), les ^v^ étant compris entre — i et + i. et si on résout ce système en x, y, z, on trouve des fondions linéaires et homogènes des w^ dont les coefficients dépendent des a^, b^, C-. Donc, les \w^\ étant -^ 1, les x, y, z sont en valeur absolue inférieurs ou égaux à une limite finie G : les systèmes des x. y, z entiers sont donc en nombre limité.

De même si les cp^ se déduisent des/^ par des variations des coefficients inférieures à 8 (le déterminant étant -|- i, comme celui des/.), on trouve que les systèmes des X, y, z entiers, rendant les |cpi| -^ i, sont tels que les x, y, z soient en valeur absolue inférieurs ou égaux à une limite G' voisine de G.

Considérons les/ et tous les systèmes de trois formes de déterminant -|- i qui s'en déduisent par des variations des coefficients inférieures en valeur absolue à 8, et soit G„ un nombre tel que les x, y, z, qui peuvent rendre un quelconque de ces systèmes -^ I en valeur absolue, soient inférieurs à G„ en valeur absolue.

Je dis que parmi lès systèmes des x, y, z entiers, tels que {x, y, z)^(j^, il en est pour lesquels les \f^\ sont <^ i.

Supposons qu'il n'y en ait aucun, c'est-à-dire que pour chaque système considéré il y ait au moins une/t telle que |/k| = i -|- )>, (X>o), K pouvant varier (K^ i, 3, 3) d'un système à l'autre. Soit >g le plus petit des X.

La différence entre/ et 0. pour un môme système de valeurs des variables considérées (c'est-à-dire inférieures ou égales à G^ en valeur absolue) est inférieure en valeur absolue à 3BG„; si donc on choisit 0 de telle sorte que 3cGg<;)„, la valeur de cpK différera de celle de /k de moins de /.^, et comme |/|^| = i -\-l^\ -\-l^, |cpK| sera > i.

Donc. si. pour chacun des systèmes x^ considérés, un au moins des |/| est > i, on pourra clioisir 8 de manière que l'un des \z^\ soit également, >> i : c'est en contradiction avec ce qui précède, car on a vu qu'on pouvait faire varier les coefficients des/ de moins de c de telle façon que, pour un système de x, y, z au moins, les \v^\ soient -.'^ i . Donc, il faut conclure que, pour un système x^, au moins les trois/ sont ^ I. ^ C. q. f. d.

THÉORIK DES CORPS DE NOMBRES ALGEBRIQUES. 4^9

NOTE IV (annexe au I 59), Par g. HUMBERT.

Questions diverses concernant les bases des idéaux d'un corps quadratique.

En raison des fréquentes applications des corps quadratiques, il ne paraîtra pas inutile de rappeler ici les principaux résultats classiques relatifs aux bases des idéaux de ces corps. C'est d'ailleurs une occasion de montrer, dans un cas particulier, la façon d'utiliser les principes généraux du paragraphe 4.

Théorème. — Un idéal quelconque du corps kyym) est un module de ce corps. déduit de deux nombres fondamentaux, c'est-à-dire que l'on peut trouver deux entiers (lu corps e^ et e^, tels que tout nombre de l'idéal soit du type l^e^ + l^e^, /, et l^ étant des entiers ordinaires et réciproquement.

En effet, soient a -\- 6m, «, + />,(*) deux entiers de l'idéal I (^); l'entier x{a + 6co) -f Y(rt, + b^o)), où a; et y sont entiers ordinaires, appartient à I. On peut déterminer x et y de manière que bx -\- b^y soit le plus grand commun diviseur de b et 6,, soit b'.

Si a, + 6 <.) est un autre nombre de I, il y a de même dans I un nombre où le coefficient de to est le plus grand diviseur de b' et de 6^, et ainsi de suite.

On arrive ainsi à un nombre \ -\- hoi, où h est le plus grand commun diviseur (positif si l'on veut, car — A — hiù appartient aussi à I, comme produit d'un nombre de I par — i) de tous les nombres 6, 6, , 6^, ... .

Maintenant —, —, ..., étant entiers, les nombres tels que a + 6(o -(\ + hui).

Il h h

c'est-à-dire a — -A, qui sont entiers ordinaires (puisque — l'est), appartiennent à I. h h

I renferme donc les entiers ordinaires en nombre infini : a — — A; a -^ A; ... .

(Que I renferme un nombre infini d'entiers ordinaires, c'est évident, car si a est de 1 ,

son conjugué a' appartenant au corps, le produit a'a, qui est entier ordinaire, est de I.)

Soit q le plus grand commun diviseur positif des nombres entiers ordinaires

ci-dessus : a — 7- A . etc., de I : il est clair que q appartient à I .

(^) On désic^ne par o), selon la notation du paragraphe 59, un nombre qui forme avec i une base du corps k\\ m) .