G. HUMBERT. NOTE IV
Alors un nombre quelconque a + ôw de I s'écrit :
= x{\ + hwi) -\- y .q, X et y étant des entiers ordinaires, puisque h est le plus grand commun diviseur des b
et g celui des a — — A .
Réciproquement, tout nombre x(A + ^o)) -\- y .q, où x, y sont entiers ordinaires, appartient à I ; car ^ et A + hiô lui appartiennent.
Donc, I est le module de base A. -{- Hm et q .
On peut simplifier en prenant pour base q et X -\- hio -\- ^q (^ étant un entier ordinaire quelconque), et choisissant ô de manière que l'on ait
On a ainsi la base q et g -\- hio, où q et h sont positifs (non nuls, comme plus grands communs diviseurs d'entiers ordinaires) et où l'on a
Réciproque. — Le module de base q et g + hw est-il un idéal? Pour cela, il faut et il sufRt que
q{x -^ybi) + (g -\- hixi)(z + Im),
où X, y, z, t sont entiers ordinaires quelconques, appartienne au module. Comme la somme de deux nombres du module lui appartient aussi, il faut et il suffît que q, qto, g + hu), (i>(g -f- Hm) appartiennent au module; q et g -{- hw lui appartiennent. Pour que qiù lui appartienne aussi, il faut
qLo = xq + y(g + hiù); d'où
q — yh, oz=:xq + yg.
Donc : 1° h divise q; q = hq^ et, par suite, y^^q^; et xq=^ — yg donne alors xhq^ ^ — q^g ou xh = — g; d'où, 2° h divise g; g = hg^.
Enfin, pour que iii(g + ho)) appartienne au module, il faut
w(j7 + Aw) ^= xq + y(g + hio).
ce qui. en distinguant mL\i i et m^ i, mod 4, donne
d'où
g = hy. hm ^= xq -{- yg \
h divisant g, y est un entier g^\ ensuite hm=xhq^ + glh montre que '— doit
elre entier.
d'où
et
>g + hlo,-\ —^] =xq + y{g + /»w),
g + h = hy, h — ; — =xq + yg.
c'est-à-dire, pu'iaque g =^ hg ^
Ê^, + i=y. h. — - — =xhq^ + hg^{g^^ i).
et donc
doit être entier.
Donc, pour que le module de base q, g -\- hoy, soit un idéal, il faut et il suffît que q =: hq^ ; g = hg^ et que
si m e|e I , (mod 4), gl — ni soit multiple de q^,
si /n = I , (mod 4), dl + 9, soit multiple de q^.
Dans tous les cas, m est résidu quadratique de q (et même de 4^,. si m est ^ i, mod 4)-
L'idéal {q , g -\- hia) ou {q^h, g^h + hm) a tous ses nombres divisibles par h; il s'écrit évidemment
(q, g -^ho)) = (h)(q^, g,-\-(M),
c'est-à-dire est le produit de l'idéal principal (h) par l'idéal (q^, ^r, + w), dont les nombres ne sont plus divisibles évidemment par un même entier ordinaire. Ce dernier idéal sera dit idéal normal.
Base canonique. — Une base de l'idéal \ : q, g ^ Hm où q et g sont divisibles par h, où q, h sont > o et où çf est ^ o et <<; 7 , est dite base canonique de cet idéal.
// n'y a qu'une base canonique.
Car si q', g' -\- h' m en est une autre, on a d'abord h' = h, car, d'après ce qui précède, h est le plus grand diviseur commun entier ordinaire de tous les nombres de l'idéal, et de même h' .
Ensuite, tous les entiers ordinaires de I sont q et les multiples entiers ordinaires
