G. HUMBERT. NOTE IV
de q (par qx -\- {g -\- ho))y\ de même ce sont q' et ses multiples; donc q' = q, puisque q et q' sont positifs. Enfin, g' + hui étant de l, on a : g' + hio^qx + y{g -f- hw), d'où y= I , c'est-à-dire g'^qx + g, et comme on a
o<6r'<y et o<ôr<^, il faut £C:=o et g' = g . C. q. f. d.
Mais il y a une infinité de bases non canoniques, c'est-à-dire de couples a + pw, a' + p'oi. tels que tout entier de I soit £c(a + pw) + y(a' + p'^) avec x, y, entiers ordinaires.
[1 suffît en effet de prendre
a -\- f^ià = x^q -\-y^(g + hui), 0.'+ p'ià=x^q + y^{g -\-ho)),
x^, y^, x^, y^ entiers ordinaires tels q\ie l'on ait
Alors, q et g + lnù sont de la forme <
n(a + M + ^'(^'+ !^'")' n et n' entiers ordinaires, et tout entier de I étant q"^ -\- {g -{- hiù)t], ; et -i] entiers ordinaires, la proposition est établie. La réciproque est évidente, toute base s'obtient ainsi.
Problème. — Le module de base a -|- ,3a), a' + ,8*a) est-il un idéal?,
11 faut chercher dans ce module une base canonique et voir si elle satisfait aux
relations voulues pour être base d'idéal. On va prouver qu'un module a une base
canonique et une seule.
D'abord afe' — 8a' ne peut être nul. Car soit 0 le plus grand commun diviseur des
entiers ordinaires a et p. 8' celui de a' et p', on a
a + ,8(0 = 5(a + 6w) , a' 4- p'o> = l'{a' + 6'to) ,
et on a
ab' — ba' = o, si a,6' — px' = o.
On en conclut, a et 6 étant premiers entre eux ainsi que a' et h' :
a' = e.a, b'^^eb, £ = -h i .
Alors on peut écrire
a + 8w = $(a + 6u)). a'+ fi'o) = 5.(a + 6w).
On peut supposer â et 8^ premiers entre eux, en faisant au besoin rentrer leur plus grand commun diviseur dans a + btù. Alors a + 60) est un nombre du module, qui ne comprend dès lors que les multiples entiers ordinaires de a + bw. Un tel module ne peut être un idéal, car celui-ci, comprenant a + 60). comprendrait aussi o>(a + bm), et 0) n'est pas entier ordinaire.
THÉORIE DES CORPS DE NOMBRES ALGEBRIQUES. l^']S
Cela posé, on aura une base canonique par
X (a 4- fiw) + y (a' + B'u)) = quantité réelle positive q, x'(x + p(o) + T'(a' 4- ,fc'a>) = g + hii), avec ^ >> o ,
xy' — ya;' = H- i .
Cela donne fix + ji'yr=o, d'où x et y, puisqu'ils sont premiers entre eux; quant au signe, il est déterminé par la condition ax + a'y >o. Ensuite, 5cy' — yx'=zh^ donne
x' = t(xj + (ix), y' = ç(y; + 6y), s = Hz i .
6 entier ordinaire quelconque, x^', yj solution particulière. Alors, px' + fi'y' >> o donne, puisque ^x + &'y = o,
d'où le signe de e . Et enfin
o < £[a(x; 4- 0£C) + a'(y; + ey)] < ^ ou
o<^£(M + ô^)<7 (car (XX -tr ci-'y = q)
donne 6 sans ambiguïté.
On trouve ainsi une et une seule base canonique pour le module considéré.
NOTE V (annexe AU I Il8),
Par ïh. GOï.
Détail de la démonstration de la seconde expression du nombre de classes d'idéaux du corps circulaire des racines iièmes ^q l'unité, 1 étant premier.
On part de la première expression, transformée à l'aide de l'identité d'Euler :
y^h = iium n ( i -[Çl^ p-'Y =num:^r-T -^
(M) s=i ip) \ L«J / (u) s=i LU n
iu = i,2, .... l — î)
On a, pour n non divisible par / :
2»irv
Fac. de T., 3e S., III. 6o
474 'lï- f'OT. NOTE V.
V désignant l'indice de n par rapport au module / et à une racine primitive r(r ^ n, mod /) ; et, pour n divisible par /, on pose :
Si n'^n, (/), on a v'^v, (/— i); donc
et l'on a, par suite,
k=i-{ rk~Y / 1 I I
n'-r(s)Jo
Mais
Donc, comme r(i)= i ,
Posons
7'°°/ y./i = IIlim / -
F„(Ér~') = o pour / = o, car X e'-' =0. Donc, F„(e~') est divisible par
I — e~', comme i — e~'\ et la fraction — - — z^i reste finie pour / = o; on a donc : ,:„ , F„(e--)l--dl /•■»F„(«-')*
Un, /-"F„(.-)f-V/^ /-F, ,,=1 Jo i —e' Jo I
Posons e~' = 33, e~'rf/ = — dx. L'intégrale devient
r^ l\(x)dx Jo x(\ — a;') '
En décomposant en fractions simples, on a : '
îqir.
2fit
en posant 0 = e'— *.
Soit u impair. — On a :
D'ailleurs,
L désignant la partie réelle du logarithme.
Pour deux valeurs q, q' complémentaires à Z, le L a même valeur, et
ind^'^ind^H , q-« ind ,'__. Q-win.i?^
car u est impair.
Les termes logarithmiques se détruisent donc dans la somme.
Puis -Sô""'"<^« = o, car ue|eo, (l—i)-
Reste —l.-^qQ-'^indg.
et par suite le produit relatif aux valeurs impaires de u se réduit à
(On a changé 6 en 6 ' dans le second produit, ce qui est permis, les valeurs de u étant deux à deux complémentaires à / — i.)
2îV
Quant au premier produit n„F„(e ' ), on remarque que, d'après des formules de la division du cercle,
ïiit 2 in
suivant que a est pair ou impair, et que
Ht.
Fi-i{e~)=±\/±:l.
Donc • II 'F„(e ' )=±t7~.
Soit II pair. — Les termes non logarithmiques se détruisent. En posant
LA^=lV (i-e 0 (i — e ') = L2sinY.
le produit étendu aux , valeurs paires de u, s écrit
IIZ M = 2, 4, ...,/- 3*
à l'P près (q ne prenant plus dans la somme que les valeurs inférieures a — ).
Donc, puisque
est ici
iv\\/d\ /— I
iZI \« / M = l,^, ...,/ — 2 «/ = 2, 4, ...,i — î
en désignant par II, et 0,, pour abréger les deux produits du second membre. Enfin, pour obtenir la forme plus simple du théorème 142 :
(2/) ^ remarquons qu'en changeant un peu les notations et posant
on a ç^ = -j— ^, et, par suite, logs^^ LA^ — ^^K-i' ^^ ^'°^^ trouve alors
^6-"*LA/i — 6-") = log-, + 6"log£, + ... + O^^log a^, Il ->
Comme
TI(r— 0-") = ^^-^,
^t que
• IlvO*«logs,.. = ^A,
la formule est démontrée.
NOTE VI (annexe AU i 172), Par Th. GOï.
Recherches sur le théorème de Fermât, faites par Kummer et divers auteurs, postérieurement à la démonstration de l'impossibilité en nombres entiers de l'équation
donnée par Kummer pour les exposants 1 premiers réguliers.
La fondation récente du prix Wolfskehl a donné un renouveau d'actualité à la question du théorème de Fermât et a suscité un grand nombre de travaux s'y rapportant. Il nous a paru intéressant d'indiquer l'état de la question à la fin de 191 1. Mais pour comprendre la portée des travaux actuels et même les méthodes qui ont inspiré certains d'entre eux, il est indispensable de se reporter aux résultats obtenus déjà par Kummer il y a cinquante ou soixante ans : il a d'abord démontré l'impossil)ilité de l'équation de Fermât pour les exposants / premiers réguliers (c'est-à-dire ne
divisant le numérateur d'aucun des premiers nombres de BernouUi) : c'est a ce
théorème que le dernier chapitre du Rapport de M. Hilbert est consacré; Kummer a ensuite, dans un Mémoire de 1857 (Abhandlungen der Kônigl. Akad. der Wissenschaften zu Berlin), étendu la démonstration à la classe particulière suivante d'exposants / premiers non réguliers :
/— 3 1° / divise un seul, B,, des premiers nombres de Bernoulli et une seule fois;
2° il existe im module pour lequel une certaine unité E, n'est pas reste de ^ième puissance;
3° Bvi n'est pas divisible par P.
C'est à l'exposé de ce résultat que la plus grande partie de la présente note est consacrée : tout en suivant la marche de Kummer, j'ai apporté à ses démonstrations les changements nécessaires pour les faire cadrer avec la conception actuelle des idéaux (d'après la définition de Dedekind) et avec les procédés et les notations du Rapport de M. Hilbert. A part deux exceptions relatives à des questions très simples, pour lesquelles je renvoie le lecteur aux Mémoires de Kummer, je me suis
d'ailleurs astreint à réunir dans ma Note, lorsqu'elles ne se trouvaient pas déjà dans le Rapport, les démonstrations de toutes les propositions utilisées : on n'aura pas ainsi à les chercher dans plusieurs longs Mémoires de Kummer où elles sont disséminées; j'ai, du reste, pu, sur quelques points, abréger notablement les calculs, soit en traitant d'une manière unique les cas des idéaux premiers du premier degré et de ceux de degré quelconque, soit en utilisant les résultats du Rapport. Exception faite des deux exceptions mentionnées, la lecture de notre Note n'exige donc, en dehors de l'étude de ce Rapport, aucune étude supplémentaire. J'ai conservé, pour les renvois aux théorèmes ou paragraphes, et pour les références bibliographiques, les abréviations de cet Ouvrage, et j'ai distingué par des chiffres romains les divisions et les théorèmes de la Note.
Parmi les travaux récents , nous nous contenterons — renvoyant pour les démonstrations aux Mémoires originaux — d'indiquer les plus importants des résultats obtenus, soit en partant de ceux de Kummer [MirimanofT, Wieferich, Frobenius], soit dans un autre ordre d'idées, voisin de celui de Legendre [Dickson, Hurwitz].
L'étude de l'équation (i) est entièrement différente suivant que l'un des nombres X, y, z est ou n'est pas divisible par /; nous examinerons donc les deux cas successivement.
