I. — Étude du cas ou xyz n'est pas divisible par

S 1. — Étude d'un produit particulier d'Idéaux conjugués.

Théorème 1. — Soit r une racine primitive, module /, et désignons par r„ le plus petit reste positif de r", module /, et par s la substitution ('Ç. ^'). j désignant un

idéal quelconque, le produit TT 5*1 est toujours un idéal principal, lorsqu'on l'étend

soit aux valeurs de k vérifiant l'inégalité

(3) r-k + r-k+iodq < l,

soit aux valeurs de k vérifiant l'inégalité inverse, (j désigne un entier quelconque non divisible par /; l'indice est relatif à la racine primitive r, module /. [Kummer"].

Démonstration. — Nous allons démontrer d'abord (lemme 1) que le théorème est vrai pour tout idéal premier du premier degré. Nous établirons ensuite (lemme II) que tout idéal premier de degré quelconque est équivalent à un produit d'idéaux premiers du premier degré, ce qui achèvera la démonstration.

Lemme I. — p étant un idéal premier du premier degré, le produit I | 5*p , étendu

aux mêmes valeurs de li que ci-dessus, est un idéal principal (').

Soit, en effet, p le nombre premier rationnel divisible par p; il est de la forme //j / + I , puisque p est du premier degré , et il se décompose en / — i facteurs conjugués :

p = l]sp.

D'autre part, on a la formule suivante, de la division du cercle : dans laquelle 'l^iZ) désigne la somme

•|,/r) = y Çind<+9ind(<+l)^

où les indices sont pris par rapport à une racine primitive g, module/). (Voir, par exemple, Weber, Algèbre supérieure.)

Soit, d'autre part,

P = (P,^- g-)- (Voir note du S gS.)

Cherchons à quelle condition l'idéal

est un diviseur de '},(0- ïl ^^^t ©* '1 suffit pour cela que la division de ^^(O par ^'' — g"^ donne un reste divisible par p. Pour avoir ce reste R, (mod p), nous remplaçons Ç'' par g'", c'est-à-dire ^ par g""" , et nous avons

R= ^ ^mr-*(in<l/+?ind«+l)= ^ ^'«'•"'^/-f- I )?""•"*= ^ /»»'•"*(/+ l)?'^'""*, (modp), l=\ t=\ t—\

OU encore, en remplaçant mr~'^ et mqr~'' par mr^^ et mr k+indq^ ce qui ne modifie pas les exposants pour le module ml = p — i :

R= 2 /""•-*(/+ j)'"'--ft+ind,.

(1) Ce lemme esl identique au théorème i36, si l'on prend q ^= r — i; en raison de son importance, nous en donnons une autre démonstration, d'après les procédés de Kummer.

48o TH. GOT. NOTE VI.

En développant par la formule du binôme, nous aurons

expression dans laquelle les a„ sont des coefficients binômiaux, dont aucun n'est divisible par/), puisque l'on a

nir-k+inàq<.p— I .

Les sommes V ^" sont divisibles par p, sauf si t" est congru à i, module p,

1=1 c'est-à-dire, — u étant compris entre zéro et 2/) — 2, — si u est égal à p — i. La condition nécessaire et suffisante pour que R soit divisible par p, et que. par suite, 5*^ divise 1,(5), est donc que la plus grande valeur de u soit inférieure h p — i :

mr-k + mr-k+\Ddq < /> — i .

ou, en divisant par m :

Or, de deux nombres k et [a + A-C), l'un vérifie l'inégalité ci-dessus et l'autre l'inégalité inverse (car r^+ic = l — r— *); par suite, la moitié des / — i idéaux premiers de p divisent '|^(ç) et l'autre moitié '|/^(^~'), — comme on le voit d'ailleurs a priori en changeant ^ en ^~' ; — et comme ']',(0'l',(^')' ^u' ^^t égal h p, ne contient que / — I facteurs idéaux, on a nécessairement (^)

k prenant, dans ces deux produits, les valeurs vérifiant l'inégalité (3) ou l'inégalité équivalente :

(4) l'ii—k + rii—Zf-findç > /.

Ces produits sont donc des idéaux principaux. C. q. f. d.

(^) E(Ç), unité à introduire dans le produit, est nccessairenient de la forme ±: "", car K((:).E(Ç)-»=i. (Théorème 48.)

THKORIK DES CORPS DE NOMBRES ALGEBRIQUES. 4^1

Lemme II. — Tout idéal premier p de degré quelconque / est équivalent à un produit d'idéaux premiers du premier degré.

Il suffît évidemment de démontrer que tout idéal premier de degré supérieur à i est équivalent à un produit d'idéaux premiers de degré inférieur. Nous allons pour cela déterminer un nombre F(Q, divisible par p une fois et une seule, et dont tous les autres facteurs idéaux premiers q soient de degré inférieur. On aura donc

et comme la norme de Ilq est un entier N,

N = riq . sHq . s'Ylq ^'-'Ilq .

on aura ainsi montré l'équivalence de p au produit sIlq.^TIq, ...^'"Mlq, dont tous les idéaux sont de degré moindre.

Pour le nombre F(Q, il suffît de prendre P(Q +/), en désignant par P(x) le facteur correspondant à p dans l'équation fondamentale décomposée, module p, en

ses e = — — - facteurs irréductibles :

de sorte que l'on a

(voir théorème 119).

Pour démontrer que F(Q remplit bien les conditions indiquées, remarquons que le premier coeffîcient de P peut être pris égal à i et démontrons que le dernier est alors égal, module p, à ( — i)'^. Considérons pour cela l'équation

ii>^{x) = x^-^\XrJx'-'-\-...+\^{r„) = o

dont les racines sont les racines de l'unité formant la période Ti^(ï;^.= ^'■*+ ^'•*^* + ... -f r "^^' )• Le produit de ces racines de l'unité étant égal à i, on a

A,(tJ = (-i/.

Le produit J^j^ ^k(x) est un polynôme à coeffîcients entiers, — car ces coeffîcients

sont des fonctions symétriques des périodes, — et il est identique au premier membre de l'équation fondamentale, — car il a même degré, mêmes racines et même premier coeffîcient. Soit, d'autre part,

l'équation de degré e, à coefficients entiers, dont les racines sont les e périodes à / termes : cette équation, considérée comme congruence, module />, a e racines u^. [Kummer^] Faisons correspondre, d'une façon quelconque, ces dernières aux périodes " Fac. de T., 3e S., III. 61

et substituons dans les <l>^ les u^ aux yj^. Puisque les fonctions symétriques élémentaires des M^ sont congruQS, pour le module p, aux mêmes fonctions des périodes, on a la congruence

x'-' + x'-^ + ... + \ ^Y[ *P^(x, aj , (mod p).

Comme le polynôme x'~^ + a;'"** +••• + ! ne peut être décomposé de deux manières différentes en facteurs irréductibles, module p, les Pj(x) ne sont autres, à l'ordre près, que les ^^i^, «J, ce qui démontre notre assertion sur la valeur du dernier coefficient de P(x).

Dès lors, P(0 + p est :

1° Divisible par p;

2° Non divisible par p*, car tout nombre divisible par p^ doit, après division par P(Q, donner un reste divisible par jo*, et ici le reste est /) ;

3" Non divisible par un autre facteur p,^ de p, égal à (p, I\(0)' car le polynôme P{x) n'est pas divisible par PJ^x), mod p;

Ix" Non divisible par un idéal premier de degré supérieur à /, car P(Q est de degré /et le premier coefficient est i ;

5° Non divisible par un idéal premier de degré/ autre que p, car, soit q, égal à (V' Q(0)' un tel idéal: le reste de la division de P(£c)4-pparQ(a;) est P(£c) — Q(a;)+p, et il n'est pas divisible par q, puisque les derniers termes de P et Q étant égaux {h {-r- i)^V le dernier terme du reste est p.

Le nombre F(?) = P(l) +p remplit donc les conditions que nous avons utilisées et le lemme II se trouve ainsi démontré, ce qui achève la démonstration du théorème I (').

§ II. — Le critérium de Kummer.

Théorème 11. — Si trois entiers rationnels x, y, z, premiers entre eux et à /, vérifient l'équation

chaque couple de deux quelconques d'entre eux, x, y, vérifie le système des

= [j. — I congruences suivantes (2) :

(') Le lemme II est vrai pour un corps de Galois quelconque (ihéorcme 89), il nous a paru utile d'en reproduire la démonstration particulière au corps circulaire.

(2) -1-^2^ désigne la valeur de la dérivée (/ — 2/i)"'™'' pour m = o.

En effet, l'équation peut s'écrire

(ic + y) (X + ;y) ... (x + C'~'y) = - z'-

Les facteurs du premier membre sont premiers entre eux deux à deux, puisque X et y sont premiers entre eux et que z est premier à / (voir S 172) : donc, leur produit étant une puissance /'^■"'', chacun d'eux est, à un facteur unité près, la puissance /iètne (j'uj^ idéal. On a donc

X + ^y = ti',

et, par suite,

X + :'-*y = s^-z(sHy,

i^s désignant toujours la substitution (w, ^'^)).

Donnons a k les valeurs vérifiant l'inégalité (4) :

et formons le produit des x + v''*y étendu à ces valeurs de A: : on sait (théorème I)

que le produit TT 5*j correspondant est un idéal principal (a). Quant au produit

k TT 5*£, il se réduit, au signe près, à une racine l'""^ de l'unité (théorème 48). car son

module est égal à ± i , puisque l'on a pour la norme :

n(£) = J]^ sf'e . Yl ^^+'£ = ± I

ix+A:

et que TT et TT qui se déduisent l'un de l'autre par le changement de îl, en Ç~*

k iL+k

sont imaginaires conjugués. On a donc

Y[(oc + :'-''y) = ±7oi'.

On en déduit (voir S i3i, note), les congruences (6) 2j Th^n = 0' (mod/).

pour/i= I, 2, ..., \). — I, c'est-à-dire encore (/^-2" log (x -f- e"y) v-^

484 fH. GOT. NOTE VI.

'rransformons V, de manière à étendre la sommation à toutes les valeurs de A: k

de I à / — I, en multipliant chaque terme de 2j /"*"~"'' par la fraction

/y— A- + /y— /f+in<ly — />— fr+ind (17+I)

égale à i lorsque la valeur de k est à conserver, égale à o dans le cas contraire. On aura

lc=l—l y ,.A(/-2n) = V ^V-^- + /y-fr+indy — /V-fr+ina(y+l) ^.;,(,2„)^

OU. en multipliant par / et remplaçant /■*"-'"' par r*'"-*"' qui lui est congru, mod /,

/ ^ ,.Ai/-2«) ^ ^ [,.^,. + r^,,+i„j^ /v„+i„d(^+.)]r'''('-2«) , (mod P).

li k=\

11 suffît d'évaluer la seconde somme

^ /V-A-+ind,r'''('-2").

les deux autres s'en déduiront en effet par le changement de 7 en 1 et en ^ + i. Posons dans cette somme

i prendra toutes lès valeurs : i, 2, ..., / — i, comme k; on a d'ailleurs

/y/,+indç = i, (mod /) , d'où on tire

/•* = — ?, (mod/),

et par suite

= — ■/(/.«)' (mod/*),

OU encore

,.*/(/-*«) ^ ^/(/-»«) •/(.»-.) ^ (mod /') .

car /'""''' est congru à i pour le même module. On a dès lors

l y^ ,Mi-^.,) = [, + ,/('--') (^ + ,)'<'--"'] ^ /'<-'-').<, (mod /^).

Mais on a, d'après la formule sommatoire de Bernoulli (voir la note du S 187) : y t'""-'»-^-' = (— if^i B/(2«-i)+i . / , (mod f ) ;

d'où en divisant par /, revenant au module /, et tenant compte de ce que l'on a

/(an — i) -f- I , // — I

ot que l'on a(*)

B«+., (,y,^<^ (mod/).

n + Su. n

la congruenc€

V r*"--> = ( i)"[i + q'-'" -{q+ i)'-"'] — > (mod /).

Or. q peut toujours être choisi de manière à ce que le crochet ne soit pas divisible par /; on a donc bien, en portant l'expression de N r*"-"" dans les congruences (6)

les conditions

d'-'" \og{x -^ e"y) du

K " iZr ''^o, (mod/).

([u'il s'agissait de démontrer.

§ 111. — Impossibilité de l'équation {\) en nombres entiers x, y. z premiers à l,

quand l ne divise qu'un des premiers nombres de Bernoulli.

/ — 3 Théorème III. — Si le nombre premier / ne divise que l'un des premiers

nombres de Bernoulli et qu'une seule fois, l'équation (i) est impossible en nombres entiers x, y, z premiers à /. [Kummer*®.]

Soit V le rang du nombre de Bernoulli B., qui est divisible par /.

< log {X + e"y) du'

c'est-à-dire

xy{x—y)

(a? + yï

^ o , (mod /) , = o, (mod /),

(') KuMMER, Ueber eine allgemeine Eigenschafl der rationalein Entwicklungs-coëf/icienfen einer bestimmien Gatlung analijlischen Functionen. (J. de Crelle, t. XL[.) — On pourra se coKtenler de voir P. Bachmann : Niedere Zahlenlheorie. Zweiler Teil. Erstes Kapitel.

ainsi que les congruences analogues, relatives aux autres combinaisons de x, y, z. On doit donc avoir x^y et, par suite, x^y^z; mais comme on doit avoir, d'après le théorème de Fermât,

X + y + z ^ o, (mod /) ,

il en résulterait Sx^o, ce qui est impossible, / n'étant pas égal à 3.

V ne pourrait donc être égal qu a ; mais alors on aurait, d'après le critérium,

< log (X + e"y) . , ..

-r- ^ o, (mod /) ,

c'est-à-dire

et par suite aussi

du'

xy(x-y)ix'~.oxy^r)^ (mod/).

(x + yy ^'

{x — y) (x* — \oxy + y*) ^ o, (mod /),

(x — z)(x* — 10XZ -\- z^) ^ o, (mod/).

On ne peut avoir x^y, car alors on aurait z^ — ax et la deuxième congruence deviendrait