a;'^o, (mod

qui est impossible, / n'étant ni 3 ni 5. Enfin, on ne peut avoir non plus

X* — loxy + y*^x^ — loxz + 2* ^ o, (mod /),

car, avec x -\- y -{- z^o, on en déduirait

ïix(x -\- 2y) ^ o, (mod/),

ce qui est impossible, car on ne peut avoir x^ — ay, / n'étant ni 3 ni 5, et d'autre part / n'est pas non plus égal à 1 1, qui est régulier comme 3 et 5. C. q. f. d.

S IV. — Recherches récentes sur l'équation (i) dans le cas où xyz n'est pas divisible par l.

Les recherches récentes relatives à l'équation (1), dans le cas où xyz n'est pas divisible par /, ont presque toutes leur origine soit dans les travaux de Rummer, soit dans ceux, plus anciens, de Sophie Germain et de Legendre.

Mirimanoff s'est placé au premier point de vue dans son Mémoire : L'équation indéterminée x' + y' + z'^ o et le critérium de Kunimer. (J. f. d. r. u. a. Mathematik, tome CXXVIII). En discutant les congruences (5) il a établi le théorème suivant :

Théorème IV. — L'équation (i) est impossible en nombres entiers premiers à /, si les nombres de BernouUi Bz—s , Bz-s, B<-7. B/-9 r^e sont pas tous divisibles par /.

D'autre part, il montre qu'on peut éliminer de la façon suivante les nombres de BernouUi des congruences de Kummer : en désignant par 9, (/), pour i=2, 3, ..., / — i, le polynôme

et par a.,(/) le quotient

t représentant l'un quelconque des rapports des trois nombres x, y, z, ces congruences équivalent au système

CpjCp^;^0, (i=i,3, ...,;-2),

Wieferich {Zum letzten Fermatschen Theorem. J. f. d. Matlvematik, tome GXXXVI) a déduit des congruences de MirimanofFle critérium suivant :

Théorème Y. — Pour que l'équation (i) puisse avoir une solution, x, y, z étant premiers à /, il faut que le quotient de Fermât

soit divisible par /.

De nouvelles démonstrations, plus simples, de ce critérium ont été données par Frobenius (Sitzungsberichte der K. Ak. d. Wiss. zu Berlin, 2 décembre 1909, et ./. /. d. Malhematik, tome CXXXMI), et par Mirimanoff (Sur le dernier théorème de Fermai. J. f. d. Matliematik, tome CXXXIX).

Mirimanoff a montré en outre que :

Théorème VI. — Pour que l'équation (i) puisse avoir une solution, x, y, z étant premiers à /, il faut que le quotient de Fermât

soit divisible par /. (C. /?., 24 janvier 1910.)

Dans l'ordre d'idées de Legendre, Dickson part du théorème de Sophie Germain que nous reproduisons :

Théorème VII. — S'il existe un nombre premier impair p tel que la congruence

x" + y" Jrz" = 0, (mod/)), soit impossible en nombres entiers premiers à /) et tel de plus que n ne soit pas

résidu de puissance /^''''"^ module/), l'équation x" + y" + 2" = o n'a pas de solution en nombres entiers x, y, z premiers à n.

Il en déduit par des méthodes nouv(;lles l'impcwsibilité de l'équation (i) avec xyzE.\=o, mod. /, pour tout nombre premier / inférieur à 6857. (Dickson, Onthe last theorem of Fermât, février 1908. Messenger of Mat hématie s, tome XXXVIII, et deuxième note, mai 1908, Qiiarterly Journal of. P. a A. Maihematics, tome XL.)