II. — Étude du cas où xyz est divisible par

Nous allons, avec Kummer, examiner le cas particulier où / remplit les trois conditions suivantes :

I" / divise un seul Bv des / — 3 premiers nombres de Bernoulli et une seule fois;

3" il existe un module pour lequel l'unité

où c désigne l'unité circulaire définie au paragraphe i38 :

n'est pas résidu de /'^""' puissance ; 3° Bv/ n'est pas divisible par f .

Dans ces conditions, l'équation (i)est impossible, même avec l'un des nombres X, y, z divisible par /. [Kummer'*.]

Pour arriver à la démonstration, un certain nombre de théorèmes préliminaires sont nécessaires : ils feront l'objet des paragraphes VI, VII, VIII, IX et X. Auparavant, démontrons d'abord le

Théorème VIII. — Les deux premières hypothèses faites entraînent que le second facteur du nombre des classes n'est pas divisible par /.

Pour cela, nous allons montrer que, dans la première hypothèse, ce second

A facteur — ne peut être divisible par l que si'Vunité Ev est la /"""'^ puissance d'une unité.

A Reprenons en effet les notations du paragraphe 139 : si — est divisible par /, le

déterminant du système (117):

■\og-.,= 2 M,,log|,J,

l'est aussi ; d'où l'existence de jjl — i nombres N,, non tous divisibles par /, et tels que

toutes les sommes- V N^ M^^ le soient : l'unité TT^/'*' est donc la /'^"'^ puissance

d'une unité E et on en déduit, comme au paragraphe 189 :

9 B^Nj^o. (mod/), (/=i,2, ...,:x-i).

Or, les B, sont tous e|5 o, (mod /), excepté Bv; il faut donc que tous les X^ soient ^o, excepté Ny. On a, par suite, E' désignant une unité :