I — SI

où l'exposant svmbolique F(s) est égal à -— r , de sorte qu'on a les con-

gruences

n.: ^ — , (mod /), («=o, 1, .... |i-2).

Posant alors

Nv = — mr^' ( I — r^') , (mod /) ,

on aura pour l'exposant de s'e dans E' :

Nv/ij ^ mr2'(r-2»'+')' — 1), (mod /), (.=0, 1, ..., ix-2).

On introduit aisément l'unité s^-^i en tenant compte de ce que la norme est i, et on arrive à la formule

E'"=Er,

E' désignant une unité et Ev étant eistY'-' ... (s:--'e)'-~^^''~"\

Enfin, m n'étant pas divisible par /. on peut déterminer deux entiers a et 6, tels que am=^ 1 + bl, de sorte qu'en élevant E'" = Er à la puissance a'^""^ et remplaçant am par 1 + 6/, on a

Ev = E"",

E'" désignant une unité.

Dans ce cas, l'unité E» est donc résidu de F""* puissance pour tous les modules.

Si donc nous supposons qu'il existe un module pour lequel l'unité Ev n'est pas résidu de /'^""^ puissance, le second facteur du nombre de classes n'est pas divisible par /. C. q. f. d.

Fac. de T., 3" S., III. 62

^ \l. — Définition et propriétés des logarithmes pour le modale T^'.

Soit/(Q un nombre non divisible par I, c'est-à-dire tel que/(i) ne soit pas divisible par /. Posons, pour abréger, ^

et considérons le développement purement formel

X x" + -x' — ... +^—^ aî'4-...,

qui serait égal à log ( i — x), si l'on avai t |oc| <C 1 •

Nous allons montrer que le nombre des termes de ce développement non divisibles par /"^ ' est limité, et nous conviendrons de dire que cet ensemble de termes

est congru pour le module /"^' au logarithme de ■■■''-•, nous écrirons

(7) log

'^^^\=x — -x*-^\x'—..., (mod/"^').

en employant le même signe log que pour les logarithmes népériens, mais uniquement comme notation abrégée. [Kummer*'].

X est divisible par i — Ç, c'est-à-dire par l'idéal ï, et / est égal à ï'~'; un terme quelconque du développement est divisible par une puissance de I, — par I'", si le rang m de ce terme n'est pas divisible par /, et, si ce rang est ml", m n'étant pas

divisible par /, par ■^,,„. où l'exposant du numérateur est toujours supérieur à celui

du dénominateur; l'exposant de celte puissance de I augmente indéfiniment dans les deux cas avec m, il finira donc par être supérieur h. {n -{- i)(/ — i), ce qui montre qu'à partir d'un certain rang tous les termes sont divisibles par /"' '.

Théorème IX. — On a, au sens qui vient d'être défini, là congruence

N/(w) désignant la norme, l'indice o indiquant que l'on fait k = o dans les dérivées /^./«ùmes (jg log/(e"), et \ilV) désignant le polynôme

(9) X.C) = l + /-''■'":'• + ,-'-hl'^-;r^ + ... + r-('-2)/''^r'-%

où r est une racine primitive pour le module /. [Kummer *^]

Ordonnons, en effet, la différence/(i) — /(<!) suivant les puissances de i — ÎT. de sorte que l'on ait

/(i) -fO = A.(. - r) + A (I - rr + - + A,/i - 0'-'.

les Ai étant des entiers rationnels. On en déduit

Remplaçons Z, successivement par tous ses conjugués "CS , ^'■% ..., ^'■'', ..., 'Q'^~* . puis ajoutons toutes ces égalités multipliées respectivement par i^—'i>>-i"; on a

* y"'V-'" log r^^l ="°v "' y c, >-'"■(■ -;-')'

On a, en développant (i — î^'"*)' et sommant d'abord par rapport à h.

Ii=l~-i h—l—i s=i

/tz=0 li—<i s—Q .«=0

^ i -ZjZj^ '^ ,-.5!(j s)!'^ ^ - ^^ '^ i.s\(i-s)\'^^^^

s\{i—s)\ ' — ;' ' i.sl{i — s)\

En désignant alors par P^ la somme

'~~ ^^ u!(i — 0! it + r)\(i—t — r)i'^(t-^2i)\(i — t — 2i)\ "J

et en partageant la somme V en /sommes partielles, correspondant respectivement

A s^o, s^ i, ..., 5^/ — I, (mod/), on obtient

^-, /^AW'Yi r»-V I

S 1 — — = 7 [PoX*(i) + p.x.a) + ... + p.,x,(:'-)] .

Pour transformer cette égalité en congruence relative au module r~', démontrons d'abord que P^ contient toujours autant de facteurs / que i. Si t n'est pas nul, chaque terme de P^ contient / autant de fois que i : c'est ce qu'il est aisé de voir, à l'aide du théorème suivant, facile à démontrer :

(( Si p est un nombre premier et que le nombre A soit représenté dans le système de numération de base p par

A = a + a.p + ... + a„y"-', l'exposant de la plus haute puissance de p qui divise A ! est

A — (g + g. + ... +«».-.)„ [Kummer '^.]

Quant à P^, il contient de même autant de facteurs / que /, car la somme

\\ 4- P, 4- ... + P,, étant la somme des coefficients binômiaux alternativement

changés de signe est égale à ( i — i )' = o .

P l^es —7^ peuvent donc être considérés comme des entiers pour le module /"'*, et

l'on a, pour toute valeur de i, en tenant compte des congruences Xj^(C)^.f'^'"X/t(0 et X4(i)e-o, (mod Z"-^') :

y -. i-i = -, [i'-'"P. -f 2W"l\ + ... + (/- i)'^-'"IVJX,(Q, (mod r-').

Si l'on développe, d'autre part, (i — e")' par la formule du binôme et que l'on prenne la /fT'^"" dérivée pour « = 0, on a

»=i (lkV> ( , pu) « v-i J '

"" ^' ^^ V r— iV" çW".

d'où, en décomposant cette somme comme plus haut et tenant compte de la congruence

(.<f + m/)'''" = sf'i" , (mod Z"^') ,

on déduit la congruence

On a, par suite,

= [ I '''" ï\ + 2^'" P. + ...>(/— I yt" P,J , (mod r').

1 (I ç j i a„ (ï e } ,^^^^^^ (mod/"-).

et

Or, d'après (10), la somme ^ ' . . — -- — n'est autre chose que le développement,

r/(6")~l ordonné suivant les puissances de i —e", de log "^77— L c'est-à-dire de log /(e")

-log/(i)(0-

(*) los^ désigne ici le logarithme népérien, car e" étant égal à i pour m = o, le développement par la série de Mac Laurin est convergent dans le voisinage de « = o.

On a donc

(,0 S-'- '°«[f?]^^^^^Bi^'.x,:). (.oao.

Donnant alors à le les valeurs 1,2, .... / — 2 , faisant la son>me, et mettant à part la valeur h = o, on obtient, en remarquant que r—''^ + r--^("-\- ... -^- /— ('— 2)^!/" est congru à — i pour le module /"^',

c'est-à-dire la formule (8) qu'il s'agissait de démontrer.

Cas particulier. — Dans le cas particulier de n = o, on a simplement, comme N/(v) est congru à i, ainsi que/(i)'~', pour le module / :

d '~* loff f(e")

car on a log ,'^ ^ o, (mod /), vu le théorème X qui va être démontré.

Application. — Comme application, nous calculerons le logarithme, pour le module /, de l'unité fréquemment employée

expression où e{V) désigne l'unité circulaire (SS 98 et i38)

On a

rv. rnn ~ ' ~

log

:|g] - I '- .0. [fl>] . l e" -- .0. [fj] , . (.oa 0 .

la congruence des deux derniers membres résulte des relations

rh+^ = —r''^ et f^i{/i+.^)n = p-ihn ^ (mod/),

et de ce que eC^'-"^"') = e{^-'-'') = £(:'**).

On a donc, d'après la formule (9), où l'on prend /2:=o et /(^)=i£(Ç), la congruence

Pour calculer la dérivée qui figure dans le second membre, partons du développement connu

I I 1 B,u By B,«'

qui donne, si l'on change u en ru et qu'on retranche le développement ci-dessus du nouveau multiplié par r :

et en intégrant : ^

log

Te'"" — iH I

^» ^ — (r— i)« = logr — -(r— i)u-h

(r*— i)By

la constante d'intégration étant égale à log r. comme on le voit en faisant u=o; on n. par suite,

log e e" = log -s • —T- = log /' + '' - , /,' + • • • •

On a, dès lors, et enfin

^'^^ ^"^ [eTo] ^ ^~ '^"'"^'*" ~ '^ë^'"^'^^' ^"''''' ^^-

Remarque. — L'utilité des logarithmes pour le module /"^* tient, d'une part, à ce que, évidemment, ces développements ont la propriété fondamentale qui correspond à celle des logarithmes eux-mêmes : le logarithme d'un produit est congru à la somme des logarithmes des facteurs; — et, d'autre part, au théorème suivant :

Théorème X. — Deux nombres congrus pour le module f^\ ainsi que les entiers qu'on en déduit par la substitution de i à Ç, ont aussi leurs logarithmes congrus pour le même module. [Kummer'"-.]

Démonstration. — Si. en eflet, f{Q et cp(Q sont ces deux nombres et qu'on pose

^/(0-/(0 ..__cp(0-9(i)

on aura

■-•^^ ^ [(mod/"").

THÉORIE DES CORPS DE NOMBRES ALGEBRIQUES. f\^5

On a, vu les hypothèses,

x = y, (liiod/"^*).

d'où évidemment

au moins si A: n'est pas divisible par /. Mais cette congruence est vraie même si k est un multiple de /, soit cl", l" étant la plus haute puissance de / qui entre dans k : car en posant

la formule du binôme donne

yal" = xcl" 4. ch+a+ 1 x'""-^Z (mod l"^^') ,

et, par suite.

Les deux développements log /' et log -^— ^ étant congrus terme à terme,

L/(uJ L?(uJ

le théorème est démontré.

I VII. — Expression de l'indice de l'unité E„(Q.

Étant donné un idéal premier quelconque p, de degré/, il est possible de déterminer une racine primitive p(') de cet idéal, telle que l'on ait

p désignant le nombre premier divisible par ^. Cette racine étant ainsi déterminée, l'indice d'un nombre quelconque a du corps c{Q est le même, soit qu'on le prenne par rapport à la racine p. soit qu'on le définisse comme au paragraphe 11 3. En d'autres termes, si l'on pose

on a toujours

Pour déterminer l'indice de l'unité E„(Ç), nous allons d'abord établir les propriétés fondamentales du nombre

W (Z) = S;-(?+l)A+lnd(p''+l) (') Voir Hilbert, paragraphe 9.

OÙ l'indice a la signification qu'on vient de rappeler et où la sommation s'étend à toutes les valeurs

à l'exception de

valeur pour laquelle p'' + i serait congru à zéro, et pour laquelle l'indice n'aurait pas de sens. [Kumnier'^.]

Pt^emière propriété fondamentale : W^'ne dépend que des périodes à f termes. En effet, on a

(p* + I )" = p"" 4- I , (mod p) et par suite (mod p) ;

donc, on a

car les hp reproduisent les h à l'ordre près, (mod p'^ — i). Comme p est congru à r*, (mod /), r étant une racine primitive (mod l), puisqu'il appartient à l'exposant J, W^ admet la substitution ('Ç, CO ^t ses puissances, et ne dépend, par suite, que des périodes à / termes (').

Deuxième propriété fondamentale. On a

^,(0%(r') = /. (9 e|e o et e|e - I , mod /). En effet ,

le dernier membre étant obtenu en prenant d'abord h=^k, ce qui donne p^ — a termes égaux à i, et la somme double s'étendant ensuite à toutes les valeurs inégales de ^ et /f .

Posons

P = P > -ir— = P ' (<>)' il vient

■^,(0^^,(r') = jo^— 2 + 22 !;<'+*'*'-''', (h', k' = I, 2, .... p^— 2, /i'=|=//),

ou encore

qr (Qxii* (r~^) = p'^ 2 SÇ'*' + vv!^(<?+t)*'-ft'^

THÉORIE DKS CORPS DE NOMBRES ALGEBRIQUES. ^97

h' et A:' pouvant alors être égaux dans la somme double. En sommant par rapport à h', on trouve S ^~'" = — I , donc

et, par suite, si q est EJEc et e|e — i (mod /), on a

Si q^o ou ^— I, mod /, la relation donne ^',(0 ^,(C~') = + ^' comme cela résultedeF„ = ^V« = — I' etde »F,^j=^F^.

Troisième propriété fondamentale. Si f est pair, on a

si f est impair, on a

expression où les exposants m^ ont les valeurs suivantes (^) :

mi =: Sjji — i 4" ^[i — i+indç — 5(t — i+indiç+l)»

S^ désignant la somme

La première partie de l'énoncé résulte immédiatement de ce que l'on ap ^ ^ — i ,

(mod 0, et, par suite, ^%(r') = ^V^^) = ^,(0. et de la relation ^VO^<,(r')=P^- En vertu de cette même relation, il est clair aussi, pour /impair, que W^ ne peut

contenir que l'idéal premier p et ses conjugués, et il ne reste qu'à déterminer leurs

exposants et l'unité dont le produit est affecté.

Pour cela, nous allons substituer à Z une puissance de p qui lui soit congrue

(mod p"). Posons pour abréger

on a successivement

(') Ind désigne l'indice par rapport au module ^ et à la racine primitive o, ind l'indioe par rapport au module / et à la racine primitive r.

Fac. de T., 3e S., III. 63

Evaluons maintenant ^g('Ç''~'); en posant q+ i ^ r", (mod /), prenant Ind (p''/'"^ + i) au lieu de Ind (p'' + i). on a

d'où la congruence

h prenant cette fois dans la somme toutes les valeurs o, i q' — 2, la valeur

exclue précédemment h = -(p'^ — 1) donnant ici un terme ^o.

Si l'on développe par la formule du binôme, et qu'on effectue la sommation par rapport à h, il ne reste que les termes où l'exposant de p est un multiple de p'^ — I = //' ; soient sW ces exposants, on a

"* , u ; — - ^^,^.^. ^ ^11,^ , (/>" V, — n\-i — sii') ! ' ^^ ^

ou, en posant

ip'"- 1)

et remplaçant ^'■~' par Ç :

"^^^ — {l'p"h\-i - ll'z) ! [(r, — n-i)l'p"^ + U'z] !

pour le module (s>)"''"^'.

La somme doit être étendue à toutes les valeurs de z qui ne rendent négatifs aucun des deux facteurs du dénominateur. Comme c'est un entier rationnel, tout revient, pour trouver l'exposant de s*p dans ^,(0» à trouver quelle est la plus haute puissance de/) qui divise la somme S.

En s'appuyant sur le théorème relatif aux factorielles énoncé dans le paragraphe V, on trouve aisément, en supposant r, — /\,>>o, que c'est le terme où 2 = 0 qui contient p avec le plus petit exposant, et nous avons à calculer le nombre de facteurs p contenus dans

Pour cela, cherchons d'une manière générale le nombre de facteurs p contenus dans {l'p"^i\)\ Soit

l''\ = a + a,p + •• • + af y-' ,

les a étant inférieurs à p et non négatifs : le nombre des facteurs p de la factorielle sera, d'après le théorème rappelé ci-dessus :

Multiplions l'r^ par / çt remplaçons //' parp^ — i, nous avons P^^h — r^^la + la,p + ••■ + la^y-\ d'où, le second membre devant être divisible par p'^ :

r^ + /a = aj3 , ,

a + /a, =ot,/),

les a étant positifs et inférieurs à /; et comme on a p^r'"^, (mod /), m premier à /, puisque p appartient à l'exposant/, on a les congruences

r = ar , a. ^ a^r , . . . , a,^ ^ ^f—i^ ' (niod /),

d'où

et comme tous les x sont restes positifs, mod /, on a

a =r*-"^ x^^r'-''''^ ..., a^. = /•", (mod/);

* ' h— me' ^i ' h—tme' • • ' ' ^f—i ' A •

Puis, en ajoutant membre à membre les égalités r^ -f- /a = ap, etc., on a :

/(a + a. -f ... + a^.) = (p - i)(^,„, + r,,„,, + .•• + rj.

D'ailleurs, le dernier facteur du second membre est égal, à l'ordre des termes près, à

parce que m est premier à /. Désignons par /S^ cette somme, qui est en effet divisible par IQ); on aura pour le nombre de facteurs p de la factorielle :

Posant pour abréger r—i — r,,—i:=h, entier positif et inférieur à /, on aura pour le nombre de facteurs p de N, c'est-à-dire pour l'exposant m^ :

Et pour obtenir l'expression de l'énoncé, il sufRt de remarquer que l'on a

et que de l'expression de S résulte la congruence

r~' — r"^' ^o^r~' — (^ -f i)r~' ^ — qr~' e= r^^r^'r '"''', d'où l'on déduit o = r,^—i+indq- . >

(') Excepté pour/:= i, cas déjà traité paragraphe i.

5oO TII. GOÏ. NOTE VI.

Il reste, pour achever la démonstration, à lever la restriction relative au signe de r^ — /\, . Or. de r ^^ = / — r^ on déduit

de sorte que si i ne vérifie pas la condition r—i — r„—iZ>o, |x — i la vérifie. D'autre part, si l'on fait le produit ^^(0^,(C'), qui est égal à p^, il en résulte m^ + mi+^=f. On a donc m^=f— mi+^, et comme on a aussi S^ =/ — 8^+,^, on retombe sur la même expression de m^ que dans la première hypothèse.

Enfin l'unité E(Z), qui affecte le produit des idéaux premiers, est égale à ±1, car, d'une part, elle ne doit dépendre que des périodes à / termes (/> i), et, d'autre part, on doit avoir p:(r)E(C~')— i à cause de l'égalité ^çCO^/O^p''; ceci exige K(w) = + '^k' ^^ ^' *^'oit être nul d'après la première condition.

Remarque. — La démonstration précédente s'applique encore aux idéaux du premier degré. Si l'on fait, en effet. /= i,

/S/, se réduit à i\, et m^ à - {r^^i + /V-i+md? — 'V-i+icd^+i))»

expression prenant la valeur i ou la valeur o, suivant que s'p figure dans H'*,(0 avec l'exposant i ou l'exposant o; — c'est le résultat du théorème 1 .

Cette remarque permet de donner une expression unique pour *F^(v)« que /soit égal ou supérieur à i ; on a

l'exposant m^ égal à o ou i étant donné par la formule

rrik = -j {^\—k + t\—hJt\nAq — 1\—k + \nà(q-\-i)-

La formule s'applique aussi pour/ pair; elle est donc générale.

Indice de E,/^. — L'identité des propriétés de ^',(0(^), quel que soit l'exposant auquel appartient le nombre p correspondant, va nous permettre de trouver, par un calcul unique, s'appliquant à tous les cas. une expression de l'indice de E„(Q à l'aide de ce nombre.

Cette expression est la suivante :

r*" — I I d ■'"*" loo- T (e"^

[Kummer '-.]

(•) Nous avons utilisé dans le paragraphe i et le paragraphe actuel deux formes différentes de ^Vq(Z), mais on passe aisément de l'une à l'autre. (Voir Weber, Alg. siip.)

THÉORIE DES CORPS DE NOxMBRES ALGEBRIQUES. 5or

Pour la d:;montrer, calculons d'abord la dérivée, en partant du développement

W (e") = Se''[-<î+i)A+iDd(p*+i)i.

On a, en posant pour abréger,

rC'-^^^^.yj

'Vie')-

rf'-"' log ii;(g") "' V du

du'-'" ~ dir '

d'où, par la formule de Leibnilz :

d'-"'\ogW(e") d'"^'W^ ,, m d"'n\ dV

du'-'" du"'-' ' ^ i ' du"" ' du^ ""

Gomme on a

où W désigne un polynôme en e" à coefficients entiers et où

(parce que la différence W^(x)Wç(x"'') — ^,(0^,(C~*)' admettant la racine C. admet toutes les racines de i + x + ... 4- x'~*). On a donc

du' du' ^^ ^ ^^ i du'-' du

Pour u = o, V et ses / — 2 premières dérivées s'annulent, mod /, et comme on a p^^ i, pour ce même module, on déduit du développement précédent

du' du'

pour / = o, I, 2, ... , / — 2.

On peut encore écrire •