mod
"rf'U d'W (e")
Donc, on a
^^/-.„ = D„,... Do - Y D,„ D, + — - — . D„.. D, - . . . , (mod /) ,
Mais
(h=», 1, ..,, pf—î. excepté ^^j^j .
50fi TH. GOT. NOTE VI.
Désignons le crochet par C^, nous aurons
aa I
les valeurs h = -(p' — i), k=^-{p — i) étant exclues de la sommation, c'est-à-dire
rf^ssc,(c,-c,r
= Si: [- (9 + i)/i + Ind (p* -f ,)] [- (^ + I) (/i /f) + Ind (p" + i) - Ind (p* + i]"'.
Comme tous les termes sont congrus à zéro pour h = k, employons la transformation déjà utilisée
^*— 'l «* r ^^ ' ft'
^*-'' = p*', V]— = ?*'' (mod p)-.
nous avons
11[- (g + i) Ind (p"'- i) + Ind (p*'- i) -f- ^ Ind (p*' - p"')] [(^ + i)/c' /^'j-, (mod /).
(A', *' = 1, 2, ..., pA— 1, A'=|=*')• Évaluons séparément les trois sommes correspondant aux termes du premier crochet, en sommant d'abord par rapport à k'; pour plus de facilité, on ajoute dans la somme double les termes où h' =^k', en les retranchant d'autre part. La première somme, comme p^ — i est ^o, (mod /), que S/c" est ^o pour i= i, 2, ... , / — 2, et que l'on a
devient
(7 + i)(i + q'-*"") v/i"-"'- Ind(p'''— i).
On trouve de même pour la seconde :
- [q'-'"-' + (^ + I )'-"'-'] v/i"-*"-' Ind (p"'- i).
Pour évaluer la troisième, ajoutons et retranchons les termes relatifs à /i' = o et à k' = 0 :
— gU+(g-hi y-'"-'] s h"-'"-' Ind (p"' — I ) ;
le reste de la somme
9i^[ind(p'''- ^)^k'](rk'-hy-^"-' (;::;;;;■,:::%)
est congru à zéro.
On a donc en réunissant les trois sommes
d '"'" loe W Ce"")
^ ^^L/ = [' + q'-" -(g+ 0'-"] y:h"-^"-^ Ind ('/-!), (mod /).
THÉORIE DES CORPS DE NOMBRES ALGEBRIQUES. 5o3
Dans la somme, tous les termes pour lesquels h' est ^o, mod /, disparaissent, et si l'on pose h' = i + Ik {^f^Zl\ \\'ï,'\~v-\) . on a
S = S S t'-*"-' ind (p'^*' — I ) .
Mais on a évidemment toujours la congruence
(p' — i) (p'+' — i) (p'+^' — i) ... (p'+<^'-*>' i) = I — p''', (mod p), et. par suite,
SInd(p'+'"— i) = lnd(i — p''') = Ind(i— :•). (mod/).
Donc, on a
S = S /'-"'-* Ind ( I — r) , (mod /) .
En remplaçant i par //*, ce qui ne change pas S, multipliant par r*" et retranchant l'égalité primitive de la nouvelle, on obtient
(r'" -. )i: = -/'-'"- Ind(^i^).
Si l'on change enfin i en r*", on a
(r-- 0 i: ^ S r-' Ind i^~^^) ^ ^ Ind E„(r) .
puisque
et que l'on a
Par conséquent, on a pour' expression de l'indice de E^/^), (mod p) :
r*"— F I (/'"*" loe W (e")
lnd.E„(;)^-— .^^^,^..^^^^^,.„. • J...< ', („,„dO. C.q.f.d.
Remarque. — L'indice est ^o pour toute unité E„, telle que / — an ne soit pas divisible par/.
En effet, d'après la première propriété fondamentale de W , on a
et, par suite,
et
<'-*" log r,(e")dj-*" log W,(g»-^)__ „,,„,. rf/-"' log nr^je")
du'-"' — du'-"' -' d^;j=^' ' (mod/).
Si donc l'on n'a pas
r<'-'«)<^i=o, (mod/).
d'-*"lo"W (e")
c'est-a-dire si / — an n'est pas divisible par /, il faut que — r — - — - soit ^o,
du'-'" c'est-à-dire que Ind' E„(C) = o .
5o4 TH. GOT. NOTE VI.
S Yin. — Étude des idéaux dont la ['"""puissance est un idéal principal.
Le résultat final de cette étude est le
Théorème XI. — Moyennant les hypothèses du paragraphe V, la condition nécessaire et suffisante pour qu'un idéal i, dont la /'^""" puissance est idéal principal, soit lui-même principal, est que l'on ait
(,6) £__A LJ^o. (mod/).
[Kummer'**.]
La démonstration nécessite quelques développements, qui font l'objet des deux lemmes suivants :
Lemme IIL — Si le nombre de classes h est divisible une seule fois par / et qu'un idéal i appartienne à l'exposant /, c'est-à-dire si i' est la première puissance de i qui soit un idéal! principal, les idéaux i, t, i*, ..., i'~' représentent toutes les classes d'idéaux appartenant à l'exposant /.
Ces /classes sont évidemment distinctes, puisque i appartient à l'exposant /; s'il existait un autre idéal i' appartenant à l'exposant / et non équivalent à l'un das précédents, les produits {"'{'"'' représenteraient pour m et m' égaux à o, i, 2, ..., / — i. /* classes d'idéaux non équivalentes; ensuite l" désignant un idéal non équivalent à l'un des idéaux représentés par i"'i""', les idéaux {'"{'""{""'" seraient tous non équivalents pour m et m' égaux à o. i, ..., / — i. et m" égal a o, t, ... , h" — i, en désignant par i""" la première puissance de i" qui soit équivalente à {'"i"'". En continuant ainsi on arrive à épuiser le nombre h de toutes les classes, et l'on aurait h^^rh"h!" .... ce qui est impossible si h n'est divisible par / qu'une fois.
Lemme IV. — Si les deux premières hypothèses du paragraphe V sont vérifiées, l'indice de l'unité Ev, par rapport à un module premier p, est
' 2 h du'—-^
[Kummer'".]
En effet, on a démontré la formule générale (i5)
THÉORIE DES CORPS DE NOMBRES ALGEBRIQUES. 5o5
OÙ l'on a
lc=l—2
ks exposants m^ étant donnés par la formule
En élevant à la puissance hj^^ h, de manière à n'avoir que des idéaux principaux,
on a
