AV
On en déduit
^dr'-logW,(e")J=y\ <'-"log .-,-(.")
du'-"' — Zj ^* du'-"' ' ^"^^^'^
car si deux nombres a et |3 sont égaux, ou même simplement congrus, mod Z*^', on a pour toute valeur de / non divisible par / — i
d il' lie"') d'i'^(e"-\ On a donc, vu l'expression donnée plus haut de Ind E„,
en remarquant que 5*:p*(e")=: p^e"*"*), et qu'on peut remplacer la dérivée (/ — an)'*"'"** par la (/ — an)/'*™® qui lui est congrue, mod l. ■
Désignant pour abréger par K la somme H^ et remplaçant m^ par sa valeur, on a
/K = 2 r"-*""*[r^;c + r^-k+\nàq — r^-ky^uA{q^\)\ , (mod P) .
Remplaçons maintenant r(i-^n)ik pgj. r(^—U)i'kq^[ juj est congru pour le module f, nous aurons
/K= 2 r^-kr('-'-")'''^- i- y) r,/c+i„dîr('-2'')''^-- ^ r,;t+i„d(î+i)r('-2''K'^ (mod O.
Ac==0 À:==0 k=0
Fac. de T., 3e S., III. . 64
5o6 TH. GOT. NOTE VI.
Il suffît d'évaluer la seconde somme, dont les deux autres se déduisent par le changement de ^ en i ou en ^ + i. Posons
'|x — k+iodq l',
/ prendra toutes les valeurs I, 2, ..., / — i quand /v prendra les valeurs o, i,...,/ — 2; puis, de
rv--''+'''>àq ^ l^ ou r''^ — %, (mod /),
on tire
rii-'-n)i'k = ï (mod n ,
ou encore
r(i-in)i^k = ^ q(i-in)P i{u-i)i\ (modf), v^
parce que l'on a tC— ')''^ i, (mod f). La seconde somme est donc congrue à
q{i-în)P ^ ,-(2n-i)/Hi, (modf).
et l'on a
/K = — [i + q(i-^n)P — (q -\- i){i-în)i'] ^ i{în-\)i'+i^ (niod f).
Or, on a
V f(-'n-i);^+. =( ,)«+! B(2«-i);^+i . /, (mod P).
En posant, pour abréger,
Q = I + q'-'" — {qi- 1)'-*", Q' = i + q^'"-"^' — (q + ,)<'-'"", et revenant au module f , en divisant par /, on a donc, pour l'expression de l'indice :
Q 2 — dw
En utilisant la congruence
hj Ind E„(0 = (- .)" ' ^^ . B(.„-nP-fi • -^-j^TzIôr-^ ' (^od f)-
-^^( — i)'i^ ^— f— . (mod/),
(démontrée dans le Mémoire de Kummer, cité en note au § II), on a, si l'on y fait
(3Al— l)/+I
m = = n/ — [/ et s^^in — i :
B(2n-i)p+i = — ;— -^. (modf).
2 2(/ïf JJ^)
Si l'on fait enfin /i = v, B,;—^^ est divisible par /, car Bv l'est: on peut alors diviser par / les deux membres de la congruence qui donne l'indice, et comme on a Q'^Q, (mod /), et aussi
rf(^/-2v)/ log pf'(e>^) d'-^' log p^e")
on a finalement
(mod /),
2h.l du'—-''
Définition. — La formule précédente s'applique encore dans le cas d'un module composé, moyennant une généralisation de la notion d'indice, analogue à celle que
( a ) Jacobi a donnée du symbole de Legendre. D'après la définition du symbole j — >
(voir S ii3), on a
( a ) On définira le symbole -r . dans le cas d'un idéal i composé, par la relation
p, q, r, etc., étant les idéaux premiers distincts ou non dont le produit est égal à i : l'indice par rapport à i est la somme des indices pour p, q, r, etc. Le logarithme d'un produit de facteurs étant égal à la somme des logarithmes des facteurs, et l'indice ayant la même propriété, on voit que l'on a encore dans le cas d'un module i composé :
anj du'—-''
Remarque L — Il résulte de là que si l'idéal i est principal ou s'il appartient à un exposant non divisible par /, l'indice de Ev(0. par rapport à ce module, est divisible par /, c'est-à-dire que
car l'exposant a, auquel appartient i", étant un diviseur de h = hj, et n'étant pas divisible par /, doit diviser h^; soit h^ = ah^, on aura {"^(i")*»', et, par suite,
log i''(e") = hJlogi''(e"), d'où
d^-2vlogi'^(e«)
du'-^^
= 0 et IndEv(0 = o, (mod/).
5o8 TH. GOT. NOTE VI.
Remarque II. — Il résulte de là que Ev(0 a même indice par rapport à deux idéaux équivalents a et b .
Car dans ce cas il existe un idéal c, tel que ac et bc soient tous deux principaux, et alors
(Ev j j^j l ac ) ( bc ) '
ou en supprimant le lacteur commun — :
Passons maintenant à la démonstration du théorème XI.
Par hypothèse, il existe un module o pour lequel Ev(Ç) n'est pas reste de /'*'""' puissance et, par conséquent, t = Ind Ev(Ç) est =|=o, mod /, ou encore
11 résulte alors de la remarque I précédente que a appartient à un exposant divisible par /, soit al, et a n'est pas divisible par /, car autrement le nombre des classes serait divisible par P. Ensuite h^a" appartient à l'exposant /, et l'on a
Si maintenant i est un idéal dont la /''""' puissance est idéal principal, il est (d'après le lemme IV) équivalent à l'un b™ des idéaux
On a donc
iR(0|(E^) i i S ( b'" i ^ ou
Ind Ev(l) ^ aim, (mod /),
l'indice se rapportant au module i. Comme ai n'est pas divisible par /, l'indice est ou n'est pas divisible par /, en même temps que m, c'est-à-dire à cause de l'équivalence
suivant que i est ou n'est pas principal.
Mais puisqu'on suppose que i' est principal, l'expression de l'indice de Ev(Ç) devient (après suppression du facteur h^ dans les deux termes de la fraction)
,„d E.(0 ^ '-')-"K--'-.)B.,-, df' log JHe")
^' 2/ du!--' ^ ^
et si l'on observe que le premier facteur du second membre est indépendant de i et qu'il n'est certainement pas divisible par /, car autrement Ev(C) serait reste de puissance Z'^""' pour le module i, contrairement à l'hypothèse, on voit que l'indice de
d '— -•' loff i'(e") Vj, est ou n'est pas divisible par /, en même temps que — — — - — , ce qui achève
la démonstration du théorème.
Corollaire. — Dans le cas d'un idéal i du corps c{Z. -f C~'). on a i'(^) = i'(v~*). et, par suite, toutes les dérivées d'ordre impair du logarithme sont congrues à zéro pour u = o, en particulier la (/ — 2v)'^'"^ .
Donc, tout idéal du corps cÇC, -f- 'Ç~'), dont la /'•'""' puissance est un idéal principal, est lui-même idéal principal.
S IX. — Condition moyennant laquelle un nombre du corps c(Ç + Ç '), multiplié par une unité convenable, est congru, mod l, à un entier rationnel.
1 — 3 Théorème XII. — Si / ne divise qu'un seul B, des premiers nombres de
Bernoulli et qu'une seule fois, tout nombre F(Q du corps c(:^ + ^~'), qui vérifie la congruence
dl^loghXe'')
du^^
o, (mod /).
peut, après multiplication par une unité convenable, devenir congru, mod /, à un entier rationnel. [Rummer'".]
On a, en effet, dans ce cas, en appliquant la formule (12) :
~ ^Lf(ÔJ= du^ X,(g) + ...+ ^^,3 X,3(0. (mod/).
les dérivées d'ordres impairs disparaissant à cause de F(e")= FÇe"").
Employons maintenant les unités E„(ç), pour lesquelles on a, d'après la formule (i4) :
Déterminons les entiers i\ pour n=i, 2, ..., \j. — i, à l'exception de n = v par les congruences
nous aurons
Vo.[|i]^^^^^^-..(«. (.0.0,
et, pour /i = v, on a, quel que soit N,, puisque Bv est supposé divisible par /
Par suite, si l'on suppose
dflogF(e")^
dn^' on a
o, (mod /),
c'est-à-dire en posant
ou
F(Ç)E(Ç)=F(i)E(i), (mod/). C. q. f. d.
§ X. — Propriété des unités congrues, mod /*. à un entier rationnel.
Théorème XIII. — Si / satisfait aux trois conditions suivantes :
I" il divise un seul Bv des premiers nombres de Bernoulli,
2° il ne divise pas le second facteur du nombre de classes, 3° Bv/ n'est pas divisible par f ,
( —\ toute unité du corps cve ' / congrue, mod f, à un entier rationnel, est la /"'""' puissance d'une unité du corps. [Kummer '*'.] (Théorème correspondant au théorème i56 pour les corps réguliers.)
Démonstration. — Soit
E(r)=-^rY-'*''Y^^...y^7'
/ — 3 l'expression d'une unité quelconque E(!^) a l'aide d'un système de [j. — i ^
unités fondamentales y^, .... '(^^' et soit
£(^r*) ^ ,^«t, 1 ,,^"*, 2 yj;*,,!^-', (,, = 0, 1, 2, ... , ^-2),
celle des unités circulaires.
THEORIE DKS CORPS DE NOMBRES ALGEBRIQUES. 01 I
On en déduit pour E(Z), en éliminant les y, — ce qui est aisé en prenant les logarithmes, — l'expression
où nous supposons que t représente le plus petit dénominateur commun des fractions en exposant. Ce dénominateur t n'est pas divisible par/, car c'est un diviseur du
A déterminant des rik, i, et ce dernier est égal au quotient — des déterminants des sys-
tèmes de logarithmes des unités circulaires et des unités fondamentales, c'est-à-dire (théorème i^a) au second facteur du nombre de classes, facteur non divisible par /, d'après l'hypothèse.
Supposons E(Ç) congrue, mod f, à un entier rationnel a. Il en résulte d'abord .v = o, carde E(Q^a, mod T, résulte E(u~') ^ E(Q, mod P, ce qui exige, comme les unités circulaires sont réelles, C^ lr\ mod f , et, par suite, 5 = 0.
Ensuite, comme E(i) est congru à a, et, par suite, à E(Ç), mod T, on a, en prenant les logarithmes, mod f (voir § \ 1) :
^"^[■B^J^"' (modf),
ce qui donne, en développant d'après la seconde expression de E(C) et supprimant le diviseur /, non divisible par / :
m. log [-fg] + /". log [g] + . . . + m.,., log [îÇp] -- o . (mod 0-
Appliquons à £(c''*) la formule (8), paragraphe VI, en remarquant que toutes les dérivées d'ordre impair sont nulles pour m = o, parce que ces unités sont réelles, et tenant compte de ce que la norme est égale à un ; nous avons
(/ - .) log [!|^^J ^ log e(0'-' + V .-' ^"'^;^^"^ . X,„(0 . (mod P)-
Multiplions par m^ et faisons la somme pour k=:=o, i, 2, ..., y. — 2, en posant pour abréger
M„ = ;^ ni,r^"".
nous aurons
M„ log 3(0- + 2 ^S'I'^^J'"^ ■ X,„(Ç) ^ o, (mod f).
Tl=i
5l2 TII. GOT. NOTE VI.
On trouve aisément e(i) = r. et si l'on suppose, ce qui est possible, r choisi de manière que /''"' soit congru à i, mod f, on aura log £(iV~'^o, (mod f). En exprimant ensuite que les coefficients de Ç, Ç"", etc.. sont tous divisibles par f, on a un système de / — I congruences linéaires et homogènes indépendantes par rapport aux
l — ^ . ■ ,. d;"'\oge{e") . ^ ,
jj. — I = produits M„ — — -T-iTi ' ce qui entraîne, pour n^^ i, 2, ..., a — i :
du'
M. " Zr'^o, (modO.
Mais on a, d'après la formule (i3).
dr\ogt(e") R,
du"" ~^ ' ^ \nl'
Cloge(0 B„
(/«'" ^ ' ^ ^ in'
D'ailleurs, on a toujours
c/;Mog<^(0 d;iog^(0
(mod /),
comme on le voit en comparant les développements de log ' , mod f, et
mod / (les X/Ç) étant congrus dans les deux développements, d'après le théorème de
rf""log=(e") Fermât). Donc — — ^^7^7 — - ne peut être divisible par / que si B„ l'est; dans le cas
actuel, c'est seulement pour n = v. On a, par suite, M„^o, (mod /*), sauf pour
n = v; si on suppose — t-eI^o, (mod f), c'est-à-dire Bv/eIeo. (mod f), on aura néces-
sairement Mv^o, (mod /). Posons alors Mv^aô/, M„^ac, (mod f ), nous aurons, en multipliant M„ par 7'~"'*' et ajoutant pour n^o, 1 \j. — i :
ij.m^^ \).c + '^.hlr—-^^', (mod /*).
ini^= C -\- bh 2vW|5^/», (* = 0, 1,,..,;;l-2.)
En portant ces valeurs dans l'expression de E(c), tenant compte de ce que la norme de e(X) est i et que. t étant premier à /, on peut déterminer deux entiers d et e tels que td^ 1 + le, on trouve aisément
expression où E^ est une autre unité, ce qui démontre le théorème.
THÉORIE DES CORPS DE NOMBRES ALGEBRIQUES. 5l3
$ XI. — Théorème sur l'impossibilité de l'équation (i), dans le cas de x, y ou z divisible par l, lorsque l vérifie les trois conditions du paragraphe V.
Théorème XIV. — Si / satisfait aux trois conditions suivantes :
i" il divise un seul B, des premiers nombres de Bernoulli, et une seule
fois,
3' il existe un module pour lequel Ev n'est pas reste de /'*™* puissance,
3' Bv/ n'est pas divisible par P,
l'équation (i) est impossible en nombres entiers x, y, z premiers entre eux deux à deux, l'un d'entre eux étant divisible par une puissance quelconque de /. [Kummer'*.] Soit z celui des trois nombres qui est divisible par /, et soit /* la plus haute puissance de / qu'il contient, de sorte que z = l''z^. Considérons, au lieu de l'équation (i), l'équation plus générale
(i)' u' + v'=E(3 — c — rT'W,
U, V, W désignant des entiers premiers à / du corps c(X + Z,~*), E une unité quelconque du corps ; 2 — C — C~\ c'est-à-dire (i — t^)(i — !;~'), est l'un des facteurs
ôgaux réels de l dans le corps c(^ -f C*) ; enfin m est supposé plus grand que un. L'équation (i) n'en est qu'un cas particulier, correspondant à
Nous allons déduire de l'équation (i)' une série d'équations de même forme :
dans laquelle W^ contiendra moins de facteurs idéaux premiers que Wi, . Ceci conduit à une contradiction qui entraîne l'impossibilité de l'équation (i)'; car W ne contenant qu'un nombre limité de facteurs premiers, on sera forcément arrêté dans îa série des transformations précédentes. Ecrivons l'équation (i)'
(u-hV)(u + çv)...(U + c'-'V) = E(2-ç-r*)'"'.w'.
Le plus grand commun diviseur des facteurs du premier membre est i — Ç, et ce facteur i — ^ ne peut diviser plusieurs fois que le seul facteur U 4- V, car si U 4- ^""V était divisible par (i — Q*, il en serait de même, comme on le voit en changeant Fac. de T., 3« S., III. 65
5l4 TH. GOT. NOTE VI.
C en C~S de U + C~'"V, et, par su le, de (Ç*" — C~0^. ce qui est impossible, si r n'est pas nul, V étant premier à /. On a donc, le nombre total des facteurs i — X^ étant iml,
(A) u + rv = e,(i — OV, ('•='.» '-')
les e^ et e étant des unités (^), les 1^ des idéaux du corps c(Ç) et J un idéal du corps c(ç + Ç~*), car il ne change pas par la substitution (Ç, Ç"'), vu l'équation (B).
Ces idéaux I^ et J sont des idéaux principaux.
Car on a, en éliminant U :
V et £^1/ sont donc congrus mod /, et il en est alors de même de leurs dérivées logarithmiques (voir S i3i, note)
dj-^" log V(g») d'-^-^ log e^e-) d>-^^ log l,(e")'
mais comme V(e") = V(e~"y et que / — 2v est impair, on a
d'-^^log\{e^)
du^-'-
^^o, (mod /),
et de même, parce que l'on a £^(^) =^ C'£,.(^ '). d'après une propriété générale des unités (théorème 48) :
rf^2v log £,(e")
par conséquent on a aussi
rf^2vlogI^(e«)'^
o, (mod /);
o, (mod /),
et il en résulte (théorème XI) que I^ est un idéal principal.
D'ailleurs, J est aussi principal d'après le corollaire du même théorème.
Le produit de I,.(OI^(C~*) po-^ une unité convenable est congru, mod l, à un entier rationnel.
En effet, en observant que V, £ et J ne changent pas par la substitution (^, ^~';. on a
£r(Ç)lr(0 — SA^ )i,.(^ )— ^ ^r '
(*) Dans ce paragraphe, e désigne une unité quelconque et non l'unité circulaire.
THÉORIE DES CORPS DE NOMBRES ALGEBRIQUES. 5l5
d'où, comme I^(Ç)' est congru, mod /, à un entier rationnel, et par suite à I^(Ç~*y,
la congruence
6,(0 ^3.(r), (modO,
ce qui exige, vu la propriété générale des unités (c(0 = C'sCC"')) .
En divisant alors par £^(Ç) et remplaçant 2 — ç — ç~' par — ^~\i — 0*» 011 ^
(G) . i^(çy— i.(r*)'=^'(i-o'*"'"*'J'.
où s! désigne une unité.
I^ ne figure dans toutes nos équations qu'à la puissance Z'«™«; on peut donc le supposer semi-primaire, c'est-à-dire congru, mod (i — Cf, à un entier rationnel, en le multipliant au besoin par une puissance convenable de Ç (8 ii5). En décomposant alors le premier membre de (G) en ses / facteurs linéaires de la forme I^(Ç) — ^'I^(Ç~'), on voit, comme plus haut, qu'ils ont pour plus grand commun diviseur i — H^, et que le seul facteur 1^(Ç) — I^CS"*) est divisible plusieurs fois par i — u (un facteur I (Ç) — C'Ir(C~*) ne peut l'être si i n'est pas nul, puisque IJX) congru, mod (i — Z)*, à ii.ie entier rationnel, est congru à 1^(Ç~*)V On a donc, les 1/ et J' étant des idéaux :
uo-c'i.(r) = e;(çj.(i-c')-i/ay. «='-^ '-»'
En résolvant par rapport à 1^(Q et I,.(C~'). on en tire les congruences
, , (mod (i—O '*"'""').
('.'où, comme m est >> I,
