I.(Ol(r) = e/'(0.e/(r).[I/(0-I/(r)]', (modO
1/(0 . 1/(C~*)' idéal du corps c(^ 4- C~'). dont la Z'^"*^ puissance est un idéal principal, est lui-même principal (corollaire du théorème XI) ; de sorte, qu'en tenant compte de la congruence ci-dessus, on a
e log [I,(e").I..(g-'0]<^- log [s;(e»).e/(e-0]
c'est-à-dire, vu la propriété générale des unités,
dl" log [lie"). lie-")]
(mod [),
du-^
o, (mod l).
(6 qui prouve, vu le théorème XII, qu'en multipliant 1^(0 • I,.(C~*) P^ir une unité convenable A^(0, on rend ce produit congru, mod /, à un entier rationnel. On démontrerait de plus, comme pour s,., que A^ est une unité du corps c('Ç, -|- C~'). On déduit de (i)' une équation de même forme.
5l6 TH. GOT. NOTE VI.
Multiplions l'équation (A) par celle qu'on obtient par la substitution (Ç, ^'), on a
u' + (r + rouv + v = e,(c) . £,(r) • (2 - r - d . [1.(0 . i^cr')]' ;
de même,
u* + (r 4- r)uv 4- r = £,(0 . £.(r') . (^ - r - r) . ihio • i(r')] ',
et en élevant (B) au carré, on a
U' + 2UV + V* = £ (0*. (2— c — O ""'"'""'. J(ç)*'.
Si on élimine U* + V* et UV entre ces trois équations, on a
£,(ç) . e,(r ) . [1.(0 . Kir')]' - £,(0 • s,(s-') • [1.(0 ■ i(r )]'
En posant, pour abréger,
on a
r...i . .y. .ruy.i^ £(0'. (2- ^ - Q*. (C + T'' -Ç- Q • J(0''
et en observant que X,'' + ^~'" — !^* — Ç~* est divisible une fois par 2 — Ç — Ç~* , et di^ même 2 — C*^ — Ç"*" et 2 — Ç* — ^~*, on a, en remplaçant k par sa valeur 2m/ — / + 1 , et désignant par E, une unité :
ce qui donne la congruence
U" = -^V", (modn.
Mais U' et V étant congrus, mod Z, à des entiers rationnels, U" et V" sont congrus,
mod /*, à des entiers rationnels; donc, l'unité — ^ est congrue, mod /*, à un entin
rationnel, et elle est, d'après le théorème (XIII), la /'^'"* puissance d'une unité ®(ç). En posant alors
on a l'équation
de même forme que celle dont on est parti et qui doit encore être vérifiée par des entiers U, , V,, W^ du corps c{^ -\- C~*) premiers entre eux et à /. Par le même pro-
THÉORIE DES CORPS DE NOxMBRES ALGEBRIQUES. 5l'J
cédé on en déduirait une troisième et ainsi de suite indéfiniment; mais c'est impossible, car le nombre des facteurs idéaux des W va en diminuant. En effet, on a d'abord :
Comme tous les facteurs du second membre sont premiers entre eux deux à deux, W, , qui est égal à J*, ne pourrait donc contenir tous les facteurs idéaux de W que si
tous les 1 étaient des unités, c'est-a-dire , d'après (A), que si ;:- était, pour
toute valeur de r, une unité ; en changeant alors ^ en l,~* on devrait avoir (propriété générale des unités) :
c'est-à-dire
Mais comme, d'après (B), on a
U + V = o, (mod/).
il en résulterait
I 4-r'^*— r— C* = o. (mod/),
c'est-à-dire
(i-r)(i-C*) = o. (mod/)/
ce qui est impossible en dehors de / égal à 3, cas exclu, ou de k égal à o, ce qui ne peut avoir lieu, car alors on aurait U + V'^o, W = o.
Le théorème est ainsi complètement démontré.
D'après l'expression du premier facteur du nombre de classes pour les nombres premiers inférieurs à loo, expression donnée par Kummer (Journal de Liouville, tome XVI), 87, 59 et 67 sont les seuls inombres premiers non réguliers inférieurs à 100. Ils entrent une fois et une seule dans ce premier facteur. Relativement aux deux autres conditions, on a V3,= i6, Vj, = 23, Vg, = 29, et Kummer a trouvé Ind E,j^24, mod 87, pour le facteur idéal de 149 correspondant à ^ — 17, Ind Ej,^5o, mod 69, pour l'idéal de 709 correspondant à 'C, — 385, Ind E„^4. mod 67, pour l'idéal de 269 correspondant à ^ — 47 (2 étant choisi dans les trois cas pour la racine primitive, mod /, qui figure dans Ev). Enfin, les nombres Bv/ sont congrus respectivement à 35 X 87*, mod 87', 4i X 59*, mod 59*, et 49 X 67', mod. 67'. Les trois conditions requises pour la démonstration sont donc remplies, de sorte que l'impossibilité de l'équation (i) est établie pour tous les exposants premiers / inférieurs à 100.
i)IO TH. GOT. NOTE VI.
En dehors du résultat de Kummer, il a été obtenu peu de résultats nouveaux, dans le cas où xyz est ^o, (mod t).
Signalons seulement un résultat négatif, qui conduit à abandonner une méthode qui paraissait s'appliquer aussi bien aux deux cas de xyz^o ou =|=o, (mod l).
Il paraissait naturel de chercher si la congruence a;" + y" + 2"^o, mod p, ne serait pas impossible en nombres entiers premiers h p, pourvu seulement qu'on prît le module p suffisamment grand : car, dans le cas de l'affirmative, l'impossibilité de l'équation (i) se trouverait complètement démontrée. Mais Dickson a montré que cette méthode devait être abandonnée, car :
Théorème XV. — La congruence a;" + y" + y"^o, mod p, a toujours des solul'ons X, y, z, premières à jd, dès que p dépasse une certaine limite. (Dickson, On the congruence x" + y" + 2"^o, mod p; et Lower limit for the number of sets of solutions o/x* + y* + z*^o, mod p. J. f. d. Mathematik, Band i35.)
Hurwitz a donné de cette proposition une démonstration plus élémentaire tout en la généralisant. {Ueber die Congruenz ax' + hy* + cz'^o, mod/}. J. f. d. Mathematik, Band i36.)
