C -\- a :*b :: b : C — a nous donne

ou c- — a"^ :^ b^ « . . «(igS)

Nous pourrons, en opérant comme dans l'ellipse, remplacer dans l'équation (194) ^' — ^* P^r è% et nous aurons

ce

ou , en chassant le dénominateur, changeant les signes et faisant passer les inconnues dans le premier membre ,

b'^x^ — a'^ y- = a^b',, . .. (197)^ équation de V hyperbole rapportée au centre.

293. \2i constante a qui entre dans cette équation repré- Fig io5. sente la ligne OB [fig* io5), qui répond à7 = jo; car, dans cette hypothèse , notre équation se réduit à

(*) Nous avons écrit c* — n' au lieu de a* — c', parce quVn vertu de rinégalité (190), nous a?ons prouvé que e surpassait a dans Thyperbolcj ce qui est le contraire dans Tellipse.

DE L HYPr.RIîOLF. I «yO

vl, en divisant par b'\ devient*

x'^ = rt%

d'où l'on tire

Mais on ne peut pas dire de même que la constante b représente une ligne déterminée dans la courbe , car Thypothèse de a: = o donne

et, par conséquent, Tordonnée qui répond à x = o est imaginaire. Ainsi , le double de cette ordonnée, qui est le petit axe est aussi imaginaire.

294. Quoique, d'agrès ce qui précède, l'hyperbole n'ait point de petit axe , on est cependant convenu , par analogie avec l'ellipse, d'appeler la constante 2^ le petit axe de l'hyperbole , quoique le vrai petit axe soit

au reste, Féquation (196) prouve que depuis A jusqu'à B il n'existe aucune ordonnée. En effet, en résolvant cette équation, on trouve

j = ± - sjx^ - «^, (198)

et l'on voit qu'en donnant à j: ou à — x des valeurs moindres que a , l'ordonnée est imaginaire. Ainsi , en prenant deux abscisses OB et OA {fig. io5) égales à £ï , il n'y a point de courbe Fig.ioS. entre A et B. Ces points sont les sommets de l'hyperbole.

Si Ton donne ensuite à x des valeurs au-dessus de a , on voit que plus X croîtra , plus l'ordonnée sera grande ; et comme cette ordonnée a deux valeurs égales et de signes contraires , la courbe étendra donc jusqu'à l'infini les deux branches BG et B£.

Enfin , si l'on donne à x des valeurs négatives au-dessus

l8o THÉORIK DES COUBBES DU SECOND ORDRE.

de « , le même raisonnement prouvera que la courbe étend aussi jusqu'à l'infini les deux branches AC et AE'.

295. L'équation ( 1 96) de l'hyperbole étant donnée , il est facile de déterminer les foyers. En effet, ayant élevé par le centre 0 Fig.ioS. une perpendiculaire OD {fig* io5) égale à b (*), si, avec un rayon OF égal à l'hj'poténuse DB , on décrit du centre O des arcs de cercle qui coupent Taxe des abscisses en deux points , F et F', ces points seront les foyers ; car la propriété du carré de l'hypoténuse nous donnera