BD» = OB^ -+- 0D
ou c' ~ fl» -p b\
d'où l'on tire
€ — ± si à' -h b\
valeur qui, conformément à l'équation (igS) (art. 292), exprime la distance de l'un des foyers au centre 0 de la courbe, et, par conséquent, détermine ce foyer.
296. Ayant trouvé les foyers par l'article précédent, il est facile , comme dans l'ellipse , de décrire l'hyperbole par points :
Fig.xoG. pour cela, on décrira de l'un des foyers [fig» 106) un arc de cercle avec un rayon plus grand que F'B d'une quantité arbitraire w ; et de l'autre foyer, on décrira un autre arc avec un rayon FB 4- m. Ces arcs, dans leurs intersections , détermineront deux points de l'hyperbole ; car la différence de ces rayons qui partent des foyers est évidemment égale à
F'B — FB = 2fl.
297. On peut aussi tracer l'hyperbole par un mouvement continu , de la manière suivante :
(*) Toute la difierence que nous offrent les deux courbes à Tégard de h, cVst que h dans Pellipfte est une ordonnée, tandis que h ^ dans rhyperbole, n^est qu^une constante, au lieud-ôtrc une des coordonnées.
DE l'hYPKRBOLE. l8i
Deux points F' et F étant pris pour foyers {fi g, 106), si Ton Fi^.106. fixe à Tun de ces points F' une règle mobile F' H , et à Tautre F un fil moins long que cette règle , et attaché par son autre extrémité à celle de la règle , au point H ; si Ton fait mouvoir un style qui , en se rapprochant de B , tienne le fil constamment tendu et appliqué contre MH , la partie MF de ce fil diminuera ci'autant que l'autre partie MH s^augmentera. Le style , dans ce mouvemept, décrira une portion d'hyperbole.
En effet, soit la la différence de la règle au fil : quel que soit le point M de la courbe ainsi tracée , si, de la longueur de
la règle
= F'M-f- MH, on ôte celle du fil
= FM 4-, MH,
il restera F'M — FM = ia ,
ce oui est la propriété de l'hyperbole.
298. On démontre, comme dans Tellipsc, que les foyers sont les seuls points de la surface de Phyperbole dont la dislance à un autre poîHtpris sur la courbe est exprimée en fonction rationnelle de Tabscisse de ce point.
Pour cet effet, soient a, j3 et x, ^ les coordonnées de deux points N et M (^. 107), ^ premier, pris dans Tintérieur de Thyperbole, et Flg.107. Tautre sur la courbe; leur distance z sera donnée (art. 255) par Péquation
développant les carrés du second membre , on aura
remplaçant r et^* par leurs valeurs tirées de Téquation (19G) de l'hyperbole, nous trouverons
^«=a'-2a.x-H«'-i-^x» — Z»' qi 2/3 i/— , *'— A' H- /3* ;
disposons de ^ en régalant à zéro, pour délivrer la valeur de t^ de sa partie irrationnelle, il restera
z* = x^ — iv.x -{- a.* -\ 1 t' :
mais il no suffit pas quez^ soit rationnel , il faut encore que z le soit, ('/est à quoi nous parviendrons en. disposant de Pabscissc a de manière que la valeur de 2' soit un carre parfait. Optirant donc comme nous
iSa
Ta VOUS fait pour rellipsê (art. 267, page i6i ), et réduisant les termes en x' au même dénominateur, nous trouverons
j — ** — 2ax-ha' — fc';
éliminant a' -4- i' à Paide de Téquation (195), il viendra
t\ f% <«• JW m^ ^
Remplaçant le terme aax par x — , l'équation précédente pren-
dra cette forme
c* x' 2cx aec
et Ton voit qu'elle deviendra un carré parfait si Ton a
on tire de là (c' — «') a' = i* c'.
Éliminant c* — a* k Taide de Téquation (195), supprimant ensuite le facteur commun b^y et passant à la racine , on obtient '
999. LWdonnée ^ étant nulle , le point cherché est sur l^xe des. abscisses: par conséquent , ce sont ces deux valeurs de a qui vont nous faire trouver le point cherché. Or la valeur positive c nous indique la distance du centre au foyer F, et la valeur négative — c nous indique la distance du centre au foyer F', de sorte que ce sont ces deux foyers qui résolvent le problème.
Si Ton met ensuite la valeur positive de a dans Téquation (199), nous ^trouverons
et au moyen de la relation (195J , cette équation se réduira à
— 2CX -+- a' j
passant à la racine, et observant que c et x sont plus grands que a, nous aurons aussi
ex
pour la distance du foyer F à la courbe. Mettant de mémo la seconde valeur — c de a dans réquation(i99),
et remplaçante' — 6' par a' , nous aurons , en passant à la racine,
pour la disuince du foyar F' à la courbe. Ce qui s^accorde avec les valeurs de 5 et de £' de Tart. 291.
500. Od peut rapporter la courbe à Vun des sommets A et B. Pour cet effet , nommons x^ Tabscisse du point M 'ifiS' io5) comptée du sommet, nous aurons pour le sommet A Fig.ioS.
