FF' < MF' — MF

ou FF' -h MF < MF';

et il en résulterait que les droites FF'" et MF, qui partent des .extrémités F' et M, H^ pourraient se rencontrer, puisque leur Somme serait moindre que la droite qui les sépare. Nous supposerons dt^nc

Cela posé , prenons le milieu O de FF' pour origine ; aBaissons du point V. une perpendiculaire MP sur la direction de FF» et nommons

OP, x; PM, r; F'M, z'; FM, z:

parla propriété du caVré de Thypoténuse, les triangles rectangles F'MP, FMP, donneront les équations

F'M» = (OP H- OF')' + PMS

H ou • z'^ =: (:r: H-.c)' -h J% (^9^)-

FM' = (OP — 0¥ Y -h PM%

ou 2:»=: (a: - c)' -I- ^2^ (iga)

et la condition du problème nous offrira celle-ci :

Retranchant réquation (192) de l'équation (191), et rédui-

OF. ' l'hyperbolr.

Ï77 sant , on obtiendra

et observant qu'en général une expression de la forme a^ — b^ résulte du produit de « -f- è par a — b, on pourra écrire ains^ icetle équatlo^

cl, en y mettant la valeur de z' — z donnée par Téquation (193),

on aura

*'2ff [z' -h z) == ^cx ;

et , en divisant par na ,

Ajoutant réquation (193) à celle-ci , on trouvera

. 2c.r iz' = o.a +

et, par conséquent,

<ix

z' zz= a

Substituant cette valeur de z' dans réquation (191), et réduisant , oh obtiendra

al ^ = €' -I- o:^ -h r';

d'où l'on tirera

et , réduisant au même dénominateur le second membre ,

rt' n'

1^8 THEOAIE DES COURBES DU SECOIYD ORDRE. |

et , par conséquent ,

telle est Téquation d'une hyperbole dont 2a est le grand axe et 2 c l'excentricité. •

$, 292. Si nous observons' que dans cette équation c^ — a^

revient au produit (c -h a) (c — a) y et qu'en prenant une

moyenne proportionnelle b entre c-\-aelc — « , la proportion