OP = AP — AO
ou - V ■=. x' O t ' •
^ en représ^ntax^t par a/' l'abscisse comptée du sommet B ,
0P.5=BP + 0B,
ou :c r=> x" -}- a;
ces valeurs, étant mises sùccessivemenl dans Téquation (196) de rhyperbole , et en nommant y' et y" les ordonnées qui s'y rapportent , nous donnent ^
% y"" :=L — (.r'^ — 2flf:i'), (202)
équatiqn de rhyperbole rapportée ait sommet A,
et y""^ •=: — (x"'^ tH- lax")^ . . . (2o3), équation
de rhyperbole rapportée au '"Commet B.
30t. Si, dans l'équation (197) 4e l'hyperbole rapportée au centre, on fait b = a, on tombe sur Téquation y^zizx- — « ' d'une hyp^boïe à laquelle on a donné le nom d'hyperbole équllûtère, ^
' En compai^nt les équations de l'ellipse, de l'hyperbole, du cercle *et de l'hypeTbole éqnilatère , on voit que Phyperbole équilfttèrp est, pîrnti Jesiiypérboles , ce que le cercle est parmi
les^llpses. . '•
5011* SoieB^sc, §.et çl\ ? '^ les coordonnées des deux points M
.*j?t M'*|[*3?^Jj|Hg(Sf'Wby^eïbolc;, on aura, ^nlrc ces coordon-^Fijj.ioS.
l84 THÉORIE DES COURBES CU SECOND ORdIlK.
nées , les relations suivantes :
d'où Ton tirera la proportion
ou, en supprimant — dans le sefcond rapport, on aura
ou ê^ : ^'' :: (a -h «) (a — â) : {a\-ha) (a' — a), c'est-à-dire *
PM^ : P'M'^' : : (OP -f- AO) (OP ;- OB) : (0P'-+- AO) (OP'— OB), ou PM' : P'M'^ :: ap x'BF : af x bp:.
♦ Par conséquent, dans l'hyperbole comnîe dans l'ellipse, le»
carrés de deux ordonnées sorit, entre eux y comme te produit
des distances des pieds de ces ordonnées aux sommets (*) , qui y
dans Vhyperbole y sont d'un même côté de la courbe.
^ 505. Lorsque l'origine des abscisses est la' même dans l'eltipse et dans l'hyperiDole , f)our déduire de l'équation de» l'une de ces courbes celle de l'autre , il suffit de changer ô' en — b^
et ^ en è V — i ; c'est une suite de la comparaison que l'on peut établir entre les équations de ces courbes.
50^. Le paramètre ip ou la double ordonné^qui passe parr
Et -fc {•
jl M
(*) Cette propriété pourra ^ comme ii<ilfs*r^voiis m dans'la baKi» de Part. 272, nous fournir le moyen de oonslruird Thyperbbl^^ ^nts , lorsque , outre le grand axe , deux coordono^ a^ ^ «4t\ine ab«ci&Be a* seront données. • '^^O^'- .' ' ♦
J(| r^yer,, se détermîhera , en substituant «à ^et à ^' dans Fqqua- 197) de rhyperbole rapportée au centre, Tabscisse c et onnée/?du foyer, et Ton trouvera
remplaçant c* — a} par ^ (art. â92,équat, igS), et tirant la racine , cette équation Sonnera .
ou ,. en multipliant le premier terme du second membre par 1 , et le se£i»nd par *|, qui a la même valeur, on trouvera v
2û ia
donc, dans TRyperbole comme dans Tellipse, le paramètre est une troisième ^roportionpeUe au grand axe et au petit axe,
t "503. EiSfin, si l'on substitue la valeur - de — tirée*de •:» . a a^
relation (204) dans celle (196) de l'hyperbole, on trouvera
- {x"^ — «'}, équation au paramètre.
506. .L'équalion (-204) peut servir à trouver la constante h lorsque le demi-grand â^e et le foyer sbnt dpnnés ; car en ayant éteVé i|ne ordonnée en F, nous Connaîtrons « et/? dans-la pro-
^ portion- *J>.]« , ,
• jtirëç de récgiation (204 ) ; et en prenant urfe moyenne proportionnelle eoë^ a et/>,fon aura une ligne égale à b^ m^is qui
*ne déterminera aucun point de'-la courbe (art. 295).
1^ 307. .Pour trouver l'équation - de ' la tangente, cherchons
• • prélimittairement celle 4e la JsécanjteM'S [fi^. 108), formée Fig. 108.
par le prolongement de la corde M' M" ; et soient x' ^ y' et x" ^y'I
i^U^ • * THEORIE DES COURBEE DU SICOND (^IURÊ.
^e$ coordohnées des points M' etM'^ Cette sécante 9'étant^ chose qû'ime droite assujettie à passer .par les points M' nous 'déterminerons son équation au moyen'de la fprmulê (i • ( .page* 1 26") , dans laquelle nous substituerons x\y^ etx V^^ aux coordonnées ex , p et a', ^', et nous aurons •
X — X^ =■ -Tf — * — 7 (x — a/),. . . (2o5), équation ' de la sécante M' S.
Les points M' et M" appartenant, par hypotJièse, à- l'Hyperbole, réquation (197) sera satisfaite par le& coordonnées de ces poiiits ; nous anron» donc
retranclufnt l'une de ces équations de l'autre , on obtiendra
équation qui revient à • ^ ^
et qui donne * * y,
x'' — y ' b^ jjc' 4- x"") * ' ' r '
x" — or' ~ ^ jr'' -h j'* .' " . . \ •
cette vaFeur étant mise clans l'équation ^2o5), on a
, b^ix"-\-x')
r2 ^tt
.Lorsque la corde Ji' M" devient tangente à l'hyperbole, Jes ^ points M' et M'' coïncident, et par conséquent * * * ^
x' rzr x'\ • r' = r^;
tt \ ^f •' --/ •
JC " I x' ' x' * « ^ï"
et l'expression — ^^ ;-, se réduit *à -^ , en sup])rimant le fac- » » '^
teur commun 2. lians c(;^cas rcquiUÎç)n (206) de la sécante, **
UE l'hyperbole. . 187,
convertie en celle de la tangente au point M , oii coïncident M' etW, devient
r — r'=-- ~,-p(^---^')5- -(207), équation de la tangente en M à l'hjrperbolc,
508. L'équation d'une droite assujettie à passer par un point étant donnée par la formule ( 1 34 ) ( page i 25 ) ,
dans laquelle a représente la tangente trigonométrique de Tangle gui résulte de la rencontre de cette droite avec Taxe des X, par la comparaison de l'équation (207) à cette formule, on obtient
; = tangente tri g. de l angle T
formé par la tangente MT à V hyperbole avec V axe des abscisses.
Cette valeur n'étant point affectée du double signe, on voit que , dans l'hyperbole comme dans l'ellipse , on ne peut mener qu'une tangente au point de contact.
Aux points B et A 01^ j'=:ro, on^a, dans le premier CSA y x=za, et dans le second, x^ = — a. Ces valeurs , mises successivement dans celle de la tang trig. de l'angle T, donnent tang T = oo , ce qui montre qu'en ces points la* tangente devient perpendiculaire à l'axe des abscisses.
309. L^quation (207 ) peut se mettre , comme on l'a fait pour l'ellipse , sous une forme plus symétrique , en chassant le dénominateur a^jr' et en rassemblant les termes affectés de x et de ^, dans le premier membre ; on a alors
réduisant le second membre au moyen delà relation (197), il reste
l88 THEORIE DES COURBES DU SECOND ORDRE.
Fig 109. 510. Quand r = o, l'équation (208) dpnne [fig. 109) pour . Tabçcisse x du point T où la tangente à-l'hyperbolç rencontre l'axe des abscisses ».
valeur qui se détermine par le quatrième terme de cette pro-
portion •. . . . *
œ' \ a \: a \ OT. '
Patr conséquent, au moyen du demi-grand axe et de l'abscisse a/ y du point TM de tangence , il 'sera facile de mener une » tangente à ce point. » ^
