CHAPITRÉ XVI
De la parabole.
*• 5l7«»La pa!ra)i>ole est aine courhi^ dont chaque point M* jouit de cefte-propriété ,* que sa distance à uh point fiie, appelé ^e foyer y est toujouî^fr égaie à la perpeiyiiculaire MG [fig. 1 1 1) Fig. abaissée de M s|kr la droite SV, j^ii porte \^ nom de directrice.
Le foyer F et la directrice SV [fig* m) étant donnés^ Fig.i menons par le poin( F une perpendiculaire FD sur la dii^ctrice y et partageons FD en deux parties é^es au point A , ce point appartiendra à la parabole ; car on aura AF = AD. Ce point A étant pris pour origine, plaçons Taxe des abscisses sur la direction de AF, e^ imaginons que la courbe soit construite : il $uit de la définition que nous venons de donner, qu'une pWpendiculairc MG abaissée du point M sur la directrice sera égale au rayon vecteur FM , c'est-à-dire qu'on aura
, FM=:MÊt; .^ ^ (212)
désignons par x l'abscisse AP , et par k la distance AF du sommet au foyer, nous aurons aussi AD = k , puisque DF a été partagé en deux parties égales au point A. Ox MG = DP, comme parallèles comprises entre parallèles ; par'conséquent
«^ MG = AD H- AP = V-f-^;
d'un antre cqjté , le triaU^ rectangle FMP donne '
FM'=zFP -i-PM, • '
FM*=:r (iP— .AFX'4: P]silz±{x^I^y^^\
ou
Eo vertu de Féquatioii (2 12) , égâlon» cette vaieiir analytique de FM'au carré de GM, uous trouverons, en développai^.,
- 2/x 4- h^ -h j2 = k'*-^ 2 hx -}- x%
et nous ol^tiendross , en réduisant , , .
518. Ali lieu de la constante k on peut introduire ,''dani çett^ *
équation, l'ordonnée HF =/? {fis^ \^^) <}"* passe par le 'foyer; cette ordonnée, é'après la jpropriétéde'la courbe, eSt cgaîe à *HL, et par coi^éguent à DF :=5 2 ^- ll^mplaçant dqnc 2 /' par p dans l'éf uation (2 1 3} , on aura *
y"^ = '2/?x. . . , '(2 1 4) , équation' de^ la parabole.
519. Le paramètre 2/>, comme dans Tellipse et Thyperbole , étant le double de rordonnée qui passe par le foyer, si Ton remplace l^h par 2/? dîins Téquation (21 3), qui est la même que l'cquation (2i4) , on a donc
^ paramètre = 4^?
ce qui montre que le paramètre est le quadruple de la distance k du sommet au foyer.
