GM ~ FM

524. On peut , en opérant conjme nous l'avons fait lorsque nous avons traité de l'ellipse et de Fhyperbole, démontrer qu''il n'est dans la parabole que le foyer dont la distance â,un autre point pris sur la courbe soit une fonction rationnelle de Tabscisse de ce point.

Pour cetelTet, désignons par « et /5 les coordonnres d'un point pris

sur la surface de la parabole, et par x et r celles d^un point de la courbe. La distancer de ces deux points sera exprimée (art. 253, équat. i/jo) par Téquation

et en développant , on aura

t* = x* — 2ax-ha'-t-j'' — a/3r -h/3' :

remplaçant^' par -ipx et y par db^'ipx^ celte équation deviendra

g^ =1 X* — 1 oix -\- OL* -h ipx zp^^^'À-px -h ji* = o ;

disposant de fi pour que cette valeur des' soit rationnelle, nous ferons fi = 0, et Téquation se réduira à

z' =x' — 2ax-H a* -h2;?x = o;

mais il ne suffît pas que la valeur de s' soit rationnelle, il faut encore, d'après la condition du problème, que celle de z le soit, ce qui exige qu'on ait dans le second membre de cette équation un carré parfait. C'est à quoi on parviendra en ordonnant préliminairement par rapport à x ; ce qui permettra de mettre cette équation sous la forme

et l'on voit qu'elle deviendra un carré parfait si, en disposant de« , nous faisons

développant le premier membre et réduisant, il restera

;;* — a;7a = 0; supprimant le facteur commun , on obtiendra

et comme p est la moitié du paramètre, on voit que cette valeur de a qui exprime la distance k du sommet au foyer, est égale au quart du paramètre.

525. L'équation de la parabole nous apprend encore que les carrés des ordonnées sont comme les abscisses qui répondent à ces ordonnées.

Car soient a , p et a', p' les coordonnées de deux points : on

DE LA PARABOLE. igS

a donc , pour le premier, pour le second ,

donc " p' : p'- :: poL : po:',

ou, divisant les deux termes du second rapport par 2/y,

526. Déterminons maintenant Péquation ^e la tangente à la parabole. Pour cela , si dans l'équation (137) de la droite assujettie à passer par deux points (art. 222) , on remplace les coordonnées a, p et a', p' de ces points par les coordonnées x', y', x", y des points M' et M" {fig- 1 13) où la sécante ren- Fig. ii3. contre la courbe, nous aurons pour l'équation de la sécante M'S,

les points x', y' et x" y y" étant sur la parabole, on a

y"' ■= '-xpx', jr"^ = 2.px"\ retranchant la première équation de la seconde , il vient

y"^ — y'^- = ip{x" - x'), .... (2l5)

et en décomposant le premier membre de cette, équation en deux facteurs, on a

d'où Ton tire

substituant cette valeur dans l'équation (2ï4)) "<^"s trouverons

Fig.ijô. Dans le. cas où les points M' et M'^ [fig- 1 15) coïncident, Toi donnée y" se confond avec l'ordonnée x'y ^' ^^ sécante M'S se transforme en une tangente MT. Faisant donc y" =: y' dans Téquation (216) de la sécante, on a

y — y' z= —^{x — x'), . . .{2.1'])^ équation de la tangente à la parabole.

327.' Cette équation peut se mettre sous une forme plus élégante ; car, en chassant le dénominateur, on obtient

et en observant que y'^ =. ipx!^ cette équation se réduit à

y y' —p{jc -h j?').

328. £n comparant Téquation (217) à celle de la ligne droite, dans laquelle nous avons reconnu que le coefficient de X représentait la tangente trigonométrique de Tangle formé par cette droite avec Taxe des y y nous déduirons de l'équation (217),

p —7 = tang. trigon. de V angle

formé par la tang. avec Vaxe des x.

En prenant négativement la fraction renversée de Téquation (217) , on trouve (art. 252 )

y — y' :^ [x — y), ... (218), équation

de la normale à la parabole.

Si dans cette équation on fait j = o , j: représentera l'abscisse AR du point où la normale rencontre Taxe des x, et par Fig.zi4. conséquent x — xf^ c'est-à-dire AR — AP {fi g. 1 14) sera la sous-normale. Faisant donc j z=: o, dans l'équation (218), on

en tire , en réduisant ,

ou sous-normale z=z p.