CHAPITRE XVII. De l'hyperbole rapportée à ses asymptotes
551. Les tangentes de l'hyperbole nous présentent une particularité remarquable : c*est celle des asymptotes. On appelle ainsi deux lignes qui ne sont tangentes à la courbe qu'à son extrémité infinie. On est conduit aux asymptotes par les considérations suivantes :
Nous avons vu (art, 510; que la distance de centre de l'hyperbole au point où la tangente rencontre Taxe desâ?, était don-
née par Téquation (209). Or la fraction —, qui entre dans
cette équation , nous montre que plus l'abscisse x' du point de contact s'accroît, plus cette fraction, qui est la valeur de OT [fig» 1 10), diminue ; de sorte que si Pabscisse x^ devient infi- Fig.uo nie , on a
OT = ^ = o;
donc alors la rangente passe par le centre. Pour en déterminer la positioi^^ il faut encore un autre point de sa direction : or, la tangente trigonomélrique de l'angle que la tangente de l'hyperbole forme avec* l'axe des abscisses étant le coefficient de X dans l'équation de 1^ tangente au point x\ j\ nous avons (art. 507)
pour Texpression de celte tangente trigonométrique. Si l*on y met la valeur de/' tirée de l'équation de l'hyperbole rapportée au centre (art. 292) , et dans laquelle les coordonnées a? et j" se changent en x' et j' au point de tangence , cette expression devient
hx' b
a^x-^a^ ' " VA-^
et, lorsque x' = oo , se réduit a
552. Pour construire la première de ces valeurs, on élèvera ^»8-» ï5. au sommet B la perpendiculaire BC = ^ [fis- 1 15 ), et Tangle
BOC aura - pour tangente trigonométrique. En effet, le triangle COB , étant comparé à celui des tables , donne la proportion
OB :BC :: i : tàngBOC, *
ou a \ b :: \ : tang BOC;.
donc
b " tang BOC' = -.
. La seconde valeur se déterminera en élevant en B une perpendiculaire BC = ^ , et les deux lignes indéfinies OC , OC, seront les asymptotes de l'hyperbole.
555. Si Ton demandait leséquations des asymptotes, comme ce sont des droites qui , passant par le centre , font avecTaxe des abscisses des angles''dont les tangentes trigonométriques
ont pour valeurs absolues - , et qua Tune est au-dessus et
l'autre au-dessous de l'axe des ab^dsseç, il est évidente que
leurs équations sont
DÇ l'hyperbole rapportée a ses ASYMrrOTES. ' 20Ï
554. Parmi les propriétés remarquables des asymptotes, nous allons démontrer préliminairement que pour toute parallèle EE' à CC'^ le produit des distances ME et ME' d'un Fîg. n5. point M aux asymptotes est toujours le même. En effet , l'équation de l'hyperbole étant
si nous représentons par jr' l'ordonnée EP qui appartient à , la même abscisse de la ligne x = OP, nous aurons (art. 207 ) , en vertu de Téquation de la ligne droite qui passe par l'origine O , ' et qui fait avec l'axe des abscisses un angle dont la
tangente trigonoméfrique est - » '
élevant cette équation au carré et prenant la différence des
Carrés des ordonnées j*' de la ligne droite et y de l'hyperbole ,
nous aurons À'" b' b\ ,
Le second membre de cette équation se réduit à b^; et quant au premier, en le mettant sous cette forme
nous voyons que
y^j^=ME, jr'+jr = ME'; # donc , EM X E'M = b\
c'est-à-dire que le produit des distances d'un point M aux deux asymptotes est toujours égal au carré b^ de BC.
T . 558. Ce théorème- va nous conduire à déterminer la rela- - * "^ tioB remarquable qui existe entre une partie ON de l'asymptote QC et la parallèle NM à l'autre asymptote. Pour l'obtenir, menons (y^g^. 1 16} par le jioint B une parallèle BD à l'asymp- Fig.i i&
tote OL' et la perpendiculaire, BC à OB , et par conséquent parallèle à EE' ; le triangle BDC étant semblable au triangle MNE, on a la proportion
