DES DIAMÈTRES EK GÉNÉRAL. 21 I

seront parallèles. En effet , puisqu'il a été prouvé (art. S48) que les abscisses OP etOP' [fig. 121) des extrémités L et L' étaient Fig.121 . égales , il en résulte que les droites OT et OT', qui dans l'ellipse (art. 286) comme dans l'hyperbole (art. 5i0) ont pour exprès -

âon -7, ne diffèrent pas entre elles, ayant la même valeur

de a/. Par conséquent, les triangles OLT, OL'T', dans lesquels les angles opposés au sommet comprennent des côtés égaux , sont égaux, ce qui entraîne l'égalité des angles OLT, OL'T', et par suite le parallélisme des tangentes LT, L'T'.

53 i. Maintenant, je vais démontrer que le diamètre coupe obliquement la tangente ; en effet, s^il lui était perpendiculaire , il se confondrait avec la normale; et par conséquent le point R {fis- 121 et 122), où la normale rencontre Taxe des Fig. 121 abscisses , coïnciderait avec le centre O de la courbe. Or, en et 122. faisant j- = o dans Féquation de la normale de l'ellipse (art. 282 ) ou de l'hyperbole (art. 312) , afin d'avoir l'abscisse du point R , on trouve :

Pour l'ellipse, x = ^ — x'^zz — j?';. . . (241)

Pour l'hyperbole, x = ~ — x^ = -^x'; , . . (242)

en réduisant les valeurs de ces abscisses à Paîde.des équations (160) et(i95), on voit que la condition nécessaire pour que le diamètre passe par le centre est que la valeur de x soit nirilc. Or, celle qui est donnée par l'équation (241) ne peut être nulle que dans deux cas : 1^ lorsque c= o et que l'excentricité se réduit à un point ; il est évident que , dans ce premier cas , l'ellipse se change en cercle ; 2® lorsque o/ == o ; et comme xf est l'abscisse du point de tangence, il faut, dans ce second cas, que la tangente se trouve à l'extrémité du petit axe , et que par conséquent le diamètre se confonde avec le petit axe.

A l'égard de l'équation (242), e^le nous apprend que

a 12 THÉORIE DES GOU&BES DU SECOND ,OKDRE.

lorsque c est nul, a^-^ b^ z=z o; d'où Ton lire ^'= — «'. Cette valeur montre Pimpossibilité du cas.