CHAPITRE XIX

Des diamètres de l'ellipse et de Vhjrperbole.

582. Si par le centre on mène un diamètre parallèle à' la tangente, ce diamètre est ce qu*on appelle un diamètre conjugué à celui qui passe par le point de tangence ; ce dernier porte le nom de diamètre transverse. Nous avons vu (art. 548) qu'ib étaient partagés l'un et l'autre en deux parties égales par la courbe. Je vais maintenant en chercher la valeur en fonction des axes.

Pour cet effet , représentons par p l'angle que le diamètre transverse fait avec l'aioe des Xy et par q l'angle que le second diamètre fait avec le même axe, l'équation de la courbe étant b^x^ ±a^x^= a^b^^ en prenant (art. 262 et 292 ) le signe supérieur pour l'ellipse et le signe inférieur pour l'hyperbole (*); elle sera satisfaite par les coordonnées. a/, jr' Fîg. lao du point L {fig* 120 et 122) , où le diamètre transverse renet iTi. rx)ntre cette courbe. On aura donc

bW±:a^y^ = a^b^; (243)

mais le triangle rectangle OLP donne

mettant dans cette équation la valeur de y^ tirée de l'équation (243), il vient

a''^x''±b^Zîl—-;

(*) Pour suivre avec plus de facilité les opérations où, contre son emploi ordinaire, le double signe ne sert qu^à distinguer Tellipse de I^hyperbole, il me parait convenable de faire deux lectures, en n^ayant égard dans Tune qu^au signe supérieur, et dans Tautre qu^au signe in* férieur.

DES DIAMÈTRES DE l'eLLIPSE ET DE l'hTPEEBOLE. 2i3

chassant le dénominateur, on a

a^a'^= a^a/^±a^b'-iç:b^a:'^; .... (245)

mais d^ns le triangle OLP {^g. 1 20 et 1 22) , formé par le diamètre et les coordonnées du point où il rencontre la courbe , ' nous avons (art. 8^ )

OP = OL cosLOP,

ou j:' = rt' cosp ;

substituant cette valeur dans l'équation (245) , qn obtient

a^ a'^ = a^ a"" cos'/? ± a^ h^ ZÇ, a!^ h" cos^p ;

rassemblant dans le premier membre les termes en a^ a'', et mettant a'^ en facteur commun , il vient

à^a'^[i — cos^p) = zh «*^*ip a'^ h^ cos*/?; remplaçant 1 — cos'// par sin-*/?, on obtient

a' a'^ sin^/? ± a'^ b^ cos^p = ± a» è^ ;

d'où l'on tire, en changeant les signes inférieurs,

Désignons par q l'angle formé par un second diamètre ON=r V \ tout ce que nous avons dit du diamètre a' dans son rapport avec l'angle p pourra s'appliquer au diamètre b\ considéré relativement à l'angle q ; nous n'aurons donc besoin que de changer a' en b' -etj? en q pour déduire l'équi^tion suivante de l'équation (246 ) ,

b^cos^q ± û'sin'^ * ' \ ^JJ

385. Jusqu'à présent ces deux équations conviennent à deux diamètres quelconques, et l'on ne voit encore aucune liaison entre ceux que nous désignons sous le nom de diamètres conjugues; cependant on sent que lorsqu'on a pris arbitrairement 77, le point où le diamètre OL rencontre la courbe

2l4 THlLORIE DES GOUBBES DU SECOND OEDEB.

•est déterminé 9 et qii^il en est de même de la tangente, qui ^ étant parallèle au second diamètre, n^^ laisse plus la position de ce dernier arbitraire ; d'où il suit que Tangle q dépend de l'angle /?. 11 existe donc une relation entre ces angles, que nous allons chercher. Nous remarquerons d'abord que puisque le diamètre transverse passe par l'origine et fait un angle y? avec l'axe des abscisses , son équation est

j= X tang/?;

et comme le point de tangence a/, y est sur ce diamètre , l'équation précédente doit être satisfaite par les coordonnées j/, y ; par conséquent l'on a

f = ^tang/?;

d'où Ton tire tang j» = p (^48)

D'un autre côté , le second diamètre passant aussi par le centre et faisant avec l'axe x le même angle que la tangente au poiht x'^ y'(2C£\., 5iSâ), ce second diamètre rencontrera l'axe desx sous

lin angle dont la tangente trigonométrique aura pour exprès*

h"^ x^ sion (art. 279 et 508) ± — -7, en prenant le signe supé-

rieur pour l'ellipse et le signe inférieur pour l'hyperbole; en

sorte qu'on aura

h^ x' tang^=qr-^.

Si Ton multiplie cette valeur par l'équation (248), on ob7 tiendra ce résultat remarquable :

tang/? tang 17 =zp~ (249)