Cette équation peut se mettre sous une autre forme
1 sin jo sin a „
car, en changeant tangp en ^ et tang a en -^ elle se
^ ^ cos/? ^ cos^
transformera en
sin /? sin «7 h"^
çosp ços fj ' (ï^'
DES DIAMETRES DE l'eLLIPSE ET DE l'hTPE&BOLE. 7.1 5
et en chassant les dénominateurs , on obtiendra
a^ siap sin ^ = rp b^cosp cos q (aSo)
35^. Dans le cas de Tellipse , Téquation (249) nous donnant
^^ ~~ a"" tang/?' ^^BP — Â' tang^'
montre que si Fangle dont la tangente appartient au second membre est aigu, la tangente, de l'autre angle a une valeur négative^ et par conséquent appartient à un angle obtus. Au contraire, dans l'hyperbole, la conséquence que l'on peut tirer des équations
est que les deux angles p et g doivent être aigus ensemble ou obtus ensemble.
5I$6. Cette condition nécessite que l'un des diamètres conjugués de rhyperbole ne rencontre pas la courbe; en effet, soit p le plus petit des angles /? et ^, on a
tang q > tangj9 et tang p <^ tang 9 ; . . . (aSi)
mais l'équation (249) nous donne , pour l'hyperbole,
a' tang/? ^ a^tàn^q
substituant ces valeurs dans les inégalités (a5i), il vient b^ ^ h^ ^
a} tang p ^ a} tang q
chassant les dénominateurs , et remplaçant les tangentes par les rapports du sinus au cosinus , il vient
b^cos^p > û*sin*/?, ^'cos^^ <^ a'sin* q;
d'où l'on tire
i' cos^/> — a' ûn^p positif, b^ cos^ q — a'^ûa^q négatif; , . (aSa)
2l6 THÉOAIK DBS COURBES DU SECOND ORDRE .
en comparant ces valeurs aux dénominateurs des équations (24^) et {247 ), on voit que , dans le cas de l'hyperbole où Ton n'a êgai'd qu'au signe inférieur, b^ cos^ ç — a* sin ^ ^ étant négatif, il en est de même de la valeur de b'^ ; d'où il suit que 6' est imaginaire et ne peut rencontrer la courbe; et pour qu'une quantité négative ne se présente pas sous une forme positive, écrivons ainsi l'équation (247) ;
±(a'sin^y±^*cos^^)
et alors dans les deux cas, ce qui est entre les parenthèses sera positif. Par conséquent , si l'on fait abstraction du signe négatif qui précède ces parenthèses , et qui , ne servant qu'à indiquer la position de la ligne, devient inutile lorsqu'on ne veut pas avoir égard à cette position ; 6'', dans l'hypothèse de rhyperbole , ne sera plus qu'une constantç positive qui aura pour valeur absolue
à^ b^ f i^^KM
fjfi — . (253)*'
a^sin^qdtb^cos^q\ ^
557. Les équations (246), (253) et (249) vont nous conduire à une relation entre les diamètres et les axes indépendante des expressions trigonométriques. Pour cela , soient , pour un poipt M (^g» 1 24 )
OP = Jc , PM = X9 ^^^ coordonnées rectangulaires; 0Q = ^', QM=/', les coordonnées obliques; \
Fig.124. nous avons [fig.m^) les relations suivantes entre ces coordonnées
OP=:OH^-QR, MP = QH-HMR,
ou OP = OQ cos/? 4- MQ cos ^, MP = OQ sin/? -h MQ sin q;
remplaçant les lignes OP, OQ , MP et QM par leurs valeurs ana-
DES DIAMiT&ES UE l'eLLIPSE ET DE l'hTPEBBOLI^. âl'J *
lytiques , nous obtiendrons
xz=i x' cosp -h y' cos y , j* = a/ sin/? -h jr' sîn ^ ;
mettant ces valeurs dans les équations (162) et (197) , que nous réunissons en une seule, de cette manière :
en adoptant le signe supérieur pour Tellipse , et le signe inférieur pour l'hyperbole, nous trouverons
b^cos^p
x'^-^nù^cospcosq ziZ2a^smpsinq
x^y -h b^ cos* q a^ sin* q
y»=fl'6';..(254)
le coefficient du terme en x'j^ étant nul', en vertu de l'équation (25o), l'équation (254)» ^près avoir divisé tous ses termes par a^b\ se réduit à
^'cos'/?±<?'sin'jo ^. («* sin^ gr ±: ^' cos q) ,j
Par là, ayant rejeté le signe du coefficient de jr'^ hors des parenthèses , la quantité qu'elles renferment sera essentiellement positive. Éliminons-la au moyen de la valeur absolue de y^ donnée par l'équation (253), et opérons de même sur le coefficient dex'^y en recourant à l'équation (246), nous aurons
multipliant par a'' b'^, on obtient
538. Cette équation peut fournir une seconde preuve de ce que nous avons dit (art. Sl$6) , que si l'un des diamètres qui entrent dans l'équation (255 ) est réel , l'autre est imaginaire. En effet, a' étant supposé être le demi- diamètre qui rencontre la courbe, l'autre demi-diamètre ne sera autre chose que l'ordoi^^e qu'on mènera par le centre. Or, en faisant j/ = o pour avoir l'ordonnée qui passe par le centre , l'équation (265),
I&l8 TH^ORIB DES GOUBBES DU SECOND ORDBK.
en prenant le signe inférieur qui se rapporte à l'hyperbole , nous donnera cette valeur imaginaire
•mais quoique b' ne rencontre pas la courbe , et par conséquent n'exprime aucune ligne, h\ ainsi que le demi-petit axe, ne figure pas moins comme constante daris Péquation.
SÔ9. Ce n'est pas la seule analogie qui existe entre les diamètres et les axes; en effet, en résolvant l'équation (255) par rapport à y y en ne considérant d'abord que le signe supérieur, et ensuite que l'inférieur, on trouve , pour les deux courbes :
a ^ il
et l'on voit que toute ordonnée a deux valeurs égales et de signes contraires , qui tombent l'une au-dessus et l'autre audessous du diamètre. transverse; d'où il suit que le diamètre transverse coupe toutes les cordes parallèles à la tangente en deux parties égales.
360. On peut demander pourquoi on mène le diamètre conjugue parallèlement à la tangente? Je répondrai que sUl en était autrement, les cordes qui dérivent du prolongement des ordonnées ne seraient pas partagées chacune en deux parties égales. Fig 125. Pour le démontrer, soient DT (Jig, ia5 ) une tangente qui passe par Pextrémité D du demi-diamètre OD, et MN une corde quelconque, oblique par hypothèse à cette tangente; menons par les points M et N les droites MR, NS parallèles à la tangente en D, elles seront partagées chacune en deux parties égales ,(ar^. 348); et les triangles £MG, ENl étant semblables à cause des anglea opposés au sommet en £, et des angles alternes-internes £MG, ENI, on aura cette proportion :
