L'équation (255), résolue par rapport à :r', donne

Pour l'ellipse , j/ = ± ^ slW^'J'

Pour l'hyperbole , .r' = ± 77 \J y^ — b'^

ce qui montre que le demi-diamètre b'^ comme le premier, est parallèle à la tangente qui lui est menée au point N {fig* 120), Fig.iaa. où il rencontre la courbe; car, par la forme des équations (256 ) , ce sont les a/ que l'on prend pour ordonnées ; la double valeur du radical indique donc que ces ordonnées sont les moitiés des cordes que partage le second diamètre 2 b' : ces ' cordes se réduisent en PT {fig* 120) à un point qui se confond avec la tangente NT qui leur est parallèle , ainsi qu'au diamètre transverse LL' = 2 a', qui devient par conséquent conjugué de l'autre.

Il suit de là que les deux diamètres sont réciproquement conjugués ; ce qui n'empêche pas aue l'un de ces diamètres ne soit imaginaire, comme nous l'avons prouvé (art. 536).

565. L'hyperbole étant rapportée à ses diamètres conjugués {fig» 128), examinons si elle a des asymptotes comme Fig. 138. lorsqu'elle était rapportée {fig^ ii5) aux axes principaux. Fig.ii5.

Pour résoudre ce problème , supposons que la courbe soit rap- Fig. 128. portée aux diamètres OD et OE {fig* 128) , et que l'on compte les a/ sur OD ; si une asymptote existe , comme ces sortes de lignes partent du centre, son équation sera dépourvue de la constante h de l'équation (282) (page 207]^ et aura la forme

jr = Aa:; ; • • • (^S?)

la valeur de la constante A nous étant inconnue, nous disposerons de cette constante pour qufe notre ligne' droite ait l'inclinaison qui la rende asymptote à la courbe. Or, si la ligne qui appartient à l'équation (257) est une asymptote , il faut qu'elle atteigne l'hyperbole à une distance infinie de l'origine O , en un point qui sera commun à la courbe. Soient donc a/^ y' les coordonnées de ce point de contact , ces coordonnées devant satisfaire à l'équation (257) dé la ligne droite et à l'équation de l'hyperbole rapportée à ses diamètres conjugués, représentée par

nous aurons à la fois

f = Ax', h'-'x'^ — a'^y 2 = a '' b'- ; ' éliminant j' entre ces équations, nous trouverons, pour a/.

Or, pour. que x' soit infini, il faut qu'on ait

A'» — A'a'^rz: o;

ce qui détermine ainsi A : .

substituant cette valeur daps l'équation (257) , nous aurons

DES DIÀMiTRES DE l'bLLIPSE ET DE l'sTPCRBOLE. 221

la première valeur de y appartiendra à l'asymptote OL {fig, 128), et la seconde à l'asymptote OL' également éloignées de la direction du diamètre OD.

564. Les asymptotes comparées aux diamètres nous conduisent encore à reconnaître cette propriété remarquable de Fhyperbole : soit SS' une sécante ; si par le milieu G de la corde MM' on mène la droite OG {fi^* 128), le diamètre, Y\z ia8. devant passer par le centre et par le milieu de toutes les cordes , sera déterminé par les deux points 0 et G ; d'où il suit que OG sera le diamètre qui a GM pour ordonnée; donc la tangente TT' au point D est parallèle à cette ordonnée. Gela posé, cette tangente étant partagée en deux parties égales par les asymptotes (art. 546), les triangles semblables ODT, OGS , justifieront cette proportion :

DT : GS :: od : OG;

les triangles semblables ODT', OGS' , formés par les mêmes parallèles, donneront aussi