MS=:M'S

36S. Deux droites OL, OL' {fig, 129) qui forment entre Fig.129 elles un angle arbitraire , étant prises pour asymptotes d'une hyperbole qui passe par un point M, si l'on veut en

222 THÉORIE DBS COURBBS DU SECOND ORDRE.

trouver d'autres, on mènera par ce point des droites rs^ r'/, r"/', etc.; et en prenant xw = Mr, s'm' = Mr% s" m*' = Mr", etc. , on déterminera les points /w, m', m'\ etc., qui pourront servir chacun à en obtenir d'autres.

Cette construction est la conséquence de la démonstration de Fart. 364.

566. Il existe deux théorèmes importants sur les diamètres conjugués de l'ellipse et de Thyperbole.

Le premier de ces théorèmes' est que, le parallélogramme construit sur deux diamètres conjugues est égal au rectangle formé par le grand et le petit axe.

Pour le démontrer, prenons d'abord l'ellipse dont les carrés des demi-diamètres sont exprimés par les équations (246) et (247), prises avec le signe supérieur. Si, après avoir fait évanouir les dénominateurs , nous écrivons ainsi ces équations

a'^{b^cos'p -h ç'sin»/?) = «' è% . . . (258) b'^ {b^ cos' q •+- a"" sin^ q) =z a^b""-. , . , (259)

et que nous adoptions le signe stipérieur de l'équation ( 25o) -, signe qui appartient au cas de Tellipse , nous réduirons cette équation à celle-ci :

sin p sin q ^^

cos/? cos^ «'*'*'*

d'où nous tirerons cette valeur de ^%

COS/? COS^r

que nous introduirons dans le premier membre de l'équation (258) ; ce qui nous donnera, après avoir effacé du dénominateur cos/? détruit par u« des facteurs de cos^/?,

a'- ( — à^ sin p ^ cosp -h a' sinvl == «* b^\

\ ' COSq "^ ^J

effaçant le facteur commun a ', réduisant ensuite au même dé-

DES DIAMÈTRES DE L*ELLIPSE Et DE l'hYPERBOLE. 22?

nominateur et mettant ^ en facteur commun , il viendra

cosq

/ sin p . \ I ,

— a'^ — ^ (sing cosp — smi? cos^j = o*.

et observant que ce qui est entre les parenthèses est le développement de sin (q — /?}, il restera

— a/:^5ï^sin(y — z?) = b' (261}

COS^ \i z^/ V /

Si de l'équation (260) on tire ensuite cette valeur de <i%

,. COSZ? COS^r

a^ = — b^ -T-^ -r— ^, sin p sm q

et qu'on la substitue à a^^ dans le premier membre seulement de l'équation (259 ) , on trouvera d*abord

, „ cos q . , . .

sm/? ^

équation qui se réduit à ^

t^^^^ sïn (p—q) -a' (262)

En comparant cette équation à Téquation (261), nous rémarquerons que dans la première nous avons sin (q — /?), et dans la seconde sin(/? — q); or, si Tune de ces expressions est positive, il faut nécessairement que l'autre soit négative^ Adm^tons, par exemple, que q surpasse /?; dans ce cas, q — p étant positif, p — q sera négatif; et l'expression sin p cosq — sin y cos/?, qui est le développement de sin ( /? -^ ^) , s'écrira ainsi :

— (sin q cosp — sinp cos q ) ;

ce qui montre qu'on peut remplacer sin [p—q) par ■— sin {q—p)* Faisant donc cette substitution dans l'équation (262), elle deviendra

^/3E£l? sin(^~/?) = a^ (263)

^ • , sm /?

224 THiORIÉ DES COURBES DU SECOUD ORDRE.

Multipliant cette équation par l'équation (261) , on obtiendra

«" b'^ sin {q —pf =r d" b\ et en passant à la racine ( Note treizième) ,

a' h' sin {q — p) = ah., (^64)

567. Si) au contraire, p surpassait q^ on remplacerait sin [q — p) par — sin [p — q) dans l'équation (261 ) qui , devenue positive, et multipliée par l'équation (262), nous amènerait ce résultat

a"'b'^ûn''{p — ç') = à'b^ et en passant à la racine., on aurait

a^ ¥ sin(/7 — q) = aby

équation qui nous dit la même chose que l'équation (264); ^r, dans l'un et dans l'autre cas, q — p et p — q représentent l'angle formé par les deux diamètres conjugués.

Supposons donc q plus grand que p ; le premier membre Fîg.iîo. àe l'équation (264) exprime la surface ODHN (^, i3o) du parallélogramme construit sur les deux demi -diamètres conjugués , car l'angle q — p que forment ces deux demi-diamètres étant représenté par NOD^ si nous abaissons la perpendiculaire DI de l'extrémité de l'un des diamètres sur la direction de l'autre, nous aurons (art. 85)

DI = OD sin DOI,

ou DI = b' sin (q — p);

multipliant la base ON = a^ par cette hauteur, on a

sur/ace DONH = ON X DI, oiî surface DONH =r a ' ^' sin (q — p) ;

et comme ab exprime évidemnjent le rectangle construit sur les deux demi-axes a et by le parallélogramme construit sur les deux demi-diamètres es^ donc égal au rectangle formé par les deux demi-axes aetb.Et^n observant que , si le parallélogramme et le rectangle ont des côtes doubles., les d^ux sur-

^DES DIAMÈTRES DE l'eLLIPSE ET DE l'hyPERBOLE. 2a5

faces quadrupleront en même temps, on pourra conclure la proposition que nous avons énoncée.

La démonstration serait tout à fait la même pour Thyperbole.

568. Le second théorème que nous allons démontrer sur les diamètres conjugués est que, dans V ellipse, la somme des carrés des diamètres conjugués est égale à la somme des carrés du grand et du petit axe y tandis que y dans V hyperbole , la différence des carrés des diamètres conjugués est égale à la dif^ férence des carrés des axes.

Prenons les signes supérieurs des équations (246) et (253), parce que ces signes se rapportent à l'ellipse , et divisons les deux termes ^de ces équations par cos^ai; noiis n'en change* rons pas la valeur, et nous obtiendrons, en remplaçant le rapport du sinus au cosinus par la tangente, en vertu de l'équation (9) (page 8),

a^tang'/?-h*^' a'tang^^-f-^»' • • ' ^^^^^

mais nous avons , d'après la première des équations (loj ,

= sécante y

cos

et la première des équations (6) (page 7), engrenant le rayon pour unité, nous donne immédiatement

{sécantcY = i 4- tang*; il en résulte que

= I -h tang^

cos' Au moyen de cette vafeur, les équations (265) deviennent

^..t^^^^M' + tangV) ,,,^^(^+tajig^7)

a^ tang^ p + />=' «Uane ^ a ~A- b^' ' ' ' ^'^^^

or, pour que la Taleur.de b^^ soit une fonction dep comme celle de a'% nous éliminerons tang ^ q au moyen de l'équation (249) ; d'où nous tirerons

tang'çp=:— — — -;

® ^ a^ tang^ p

substituant cette valeur dans la seconde des équations (266) , nous obtiendrons

' tang' p/

fl' tang * p supprimant le facteur commun b\ il restera

a* tang* p

multipliant les deux termes de la fraction par a^ tang'/?, on trouvera

fr/. ^ Çq^tang^/^H-^*).

è'^ + fl'tang*/?

en résumé , nous aurons donc

fl* tang'/? -1-6^ ' ^*-+-tf' tang'/? ^ ''

Ajoutons ces équations; on trouve, en réunissant d'abord les termes affectés de tang ' /? , et ensuite ceux qui ne renferment pas cette expression trigonom^étrique , observant en outre que le dénominateur est le méme^

^'. , p,^^'(«^+^^)tang'/?-4-(a'>H^')&'^

a^ tang ' p + b-