DES DIAMÈTRES DE L ELLIPSE ET DE L^HYPERBOLE

expression qui se réduit à

a^ tang ^ p ' '"

et par conséquent à

fl'2 l ijf2 ~ flî + è' ( JVote quatorzième). . . . (268)

A l'égard de l'hyperbole , en prenant la différence des ^'aleurs de fl'* et de b'^ données par les équations (i46) et (i53) (*), nous trouverons , en opérant de même ,

a" - é" = («^-^')(&'-^')tang'/>^

^ (b^ — a^ ) tang '^ p

expression qui se réduit également à

a" — b'"^ =: <ï^ — Ô^ {Note quinzième) ;. . . . (269)

369. En terminant la théorie des diamètres conjugués de l'ellipse et de l'hyperbole , nous allons examiner dans quel cas ces diamètres sont égaux. Pour commencer par Tellipse, l'équation {268), en faisant b' =z a\ donnera

en coupant l'ellipse avec des demi-diamètres égaux à

on déterminera la position des diamètres conjugués égaux de l'ellipse.

(*) Nous employons ici l'équation (i53) au lieu de la 147^^ parce que les propriété! géométriques que nous démontrons ne peuvent concerner Tordonnée imaginaire de Téquation (147)» mais bien la constante V dont réquation (253) donne la valeur absolue.

570. 'Pour trouver leurs directions , soient a, ^ les coordonnées du point où Tun de C€S diamètres coupe la courbe ; il y aura donc entre a et p la relation

a et ^ étant les côtés d'un triangle rectangle , dont l'hypoténuse est l'un de ces diamètres égaux , nous aurons

éliminant a' au moyen de l'équation (270) , on obtiendra

à^ '\' bi

Multipliant cette équation par ^% et retranchant le résultat de la précédente, nous trouverons, après avoir réduit,

par conséquent

Or, la tangente trigonométrique de l'angle p , formée par a

et p, étant exprimée par -, nous aurons

tang^/? = ^ =: - et tang/? = ±:-.

Ces deux valeurs de tang p appartiennent aux angles COB , Fig.i3i. C'OB [fig. i3i) formés par les diamètres conjugués égaux.

En comparant les valeurs que nous venons d'obtenir pour tang p, à celles que nous avons trouvées art. 552 , on voit que les diamètres égaux de l'ellipse se confondant avec ' les asymptotes que l'on mènerait à une hvp^rbole dans laquelle le grand axe et le petit axe seraient les mêmes que ceux de l'ellipse.

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