CHAPITRE XX

Des diamètres de la parabole.

372. La défiùidon que nous avons donnée (art. 347) du diamètre nous a conduit à reconnaître (art. 349) que les diamètres de la parabole sont parallèles à l'axe des x. C'est encore ce qui résulte de cette autre définition , qu'un diamètre est la ligne qui partage toutes les ordonnées parallèles à la tangente en deux parties égales : il est d'abord évident que si le diamètre formait en A un angle SAX {fig. 182) avec l'axe des .r, laFîg.,32, partie LAS qui diffère de LAX de la partie SAH serait moindre que LAX, et par conséquent que HAX, qui équivaut à LAX; d'où résulte l'inégalité des ordonnées menées sur AS. Il en serait de même des ordonnées rectangulaires qui appartiendraient au diamètre A'X' {fig* 1 3 3) parallèle à AX, tandis Fig.i33. que nous allons voir que, comme dans l'ellipse et l'hyperbole, les ordonnées parallèles à la tangente au point A% où le diamètre coupe la courbe , sont toutes partagées en deux parties égales par ce diamètre.

Pour cela, soient(^gr. i34)APetPMlescpordonnées:cet y Fig.i34. d'un point M de la courbe , et A'Q et QM les coordonnées a/ et y' du même point rapportées a,u diamètre A' X' ; nommons de plus a et b les coordonnées AB et A'B du point fixe A' où le diamèpre rencontre la parabole, et d la tangente trigonométrique de l'angle TA'X' formé par la tangente m A' ;

23o THEORIE DES COURBES OU SECOND OEDRE.

l'angle MQX' étant , par hypothèse, égal à 0, nous avons

évidemment

AP = AB 4- BE -h EP,

ou AP = AB -h A'Q -h QR; (271)

A'Q et QM sont Pabscisse et Pordonnée du point M rapporté à l'axe A'X'; et, en observant que APest l'abscisse^ qui répond à l'ordonnée PM = j*, et que les côtés du triangle rectangle MQR ont pour expressions (art. 8tf)

QR = QM cos G, MR = QM sin ô ,

l'équation (27 1) deviendra

AP ou a: = « -f- a/ -h ^ cos0;

d'une autre part , l'ordonnée MP se composant des deux parties MR et RPy dont la seconde équivaut à A'B , nous avons