CHAPITRE XXL Des corder supplémentaires
574. Nous avons vu, (art. 222.) que la formule générale de la droite assujettie à passer par les points a, j3 et a', )3' était
déterminons avec cette formule les équations des cordes ML, WU^Jig, i36) '^ ^S* ^^* qui expriment la distance d^un point M aux extrémités d'un diamètre LL' ; pour cela, soient x' et r' les coordonnées de Pextrémité L du diamètre, , et x^yjr" celles du point M; le diamètre LL' étant partagé en deux parties égales au centre O, nous aurons (art. .548) OL' = OL; par conséquent les triangles rectangles OLP, OL'P'^ qui ont des angles opposés . au sommet en O ,* seront égaux ; d'où il suit que les coordonnées OP' et P'L' seront égales aux coordonnées OP et PL ; et si Ton fait attention que OP' et P'L' tombent en sens opposés des positives, les coordonnées du point L' seront — x et — y. Il est facile maintenant d'obtenir les équations des cordes ML , ML', car en faisant
Pour la corde TiJL, coord. de M, x", j'"; coord. de L, x', y' \
a = X', /3 = r', «' = *", ^3' =; r% . . . la formule (^276) se change en
équation ML, y — y' ^ -jj (x — x') ; (277)
Pour la corde ML', coord. de ÎU[, x", j"; coord." de L', — x', —y'\ a=— x', /3=— y, «»' = x", ^8'=^", la formnlj^ (276)' devient * \ équation ML', y -^ f = ^' , "^ ^], (* -h x') ; (278)
et comme les coordonnées OP et PL , OP' et PL' que nous employons sont rectangulaires, on voit que le» expressions -^ -, et -jj ; sont
234 THÉOUIE DKS COURBES DU SECOND OEDEE.
les taogdotfii trigon<»nétriqaeâ des angles LOP, L'OP', que les cordes OL , OL' forment avec Taxe des x. Appelons â et 6' ces angles , nous aurons donc
^^ee=^gr^, tans S' = ^,;
multipliant ces équations par ordre , on obtiendra
yffi y'%
tang Ô tango' = ^, -75; (279)
mais les points L et M étant sur la courbe, satisfont à Téquatioii
qui appartient à Tellipse en prenant le signe supérieur, et à l^yperbole . si Ton n^a égard qu'au signe iilférieur. Nous aurons donc
prenant la différence de ces équations , on obtiendra
substituant cette valeur dans Péquation (279), on trouvera enfin
tanj^ tango' = =F ^ (aSo)
573. Cette équation, indépendante des coordonnées, appartient donc à tout diamètre^ quelque manière quUl soit placé, et a lieu également pour un axe ; car les axes ne sont , au fond , que des diamètres à coordonnées rectangulaires , et alon les cordes supplémentaires partent des extrémités de Paxe, sur lequel elles sont appuyées.
Lorsque fe = a , ce qui arrive lorsque Pelllpse se change en cercle , l'équation (280) se* réduit à
tang 6 tang B' ■=■ — i ;
ce qui remplit la condition nécessaire pour ^ue les cordes soient pecpendiculaires entre elles.
Si, au moyen de Péquation (280) , Pon élimine le second membre de Péquation (249), on trouve: *• ¥
tang p tang q — tang B tang B' y
dans le cas où tang p = tang 6 , cette équation se réduit à
tang7 = tangg' (281)
376. Ceci nous offre ce moyen facile de mener dans Pellipae un dia-
DES GOKDES SUPPLÉMENTAIRES. 235
mètre conjugué à nn diamètre donné LL'(/J^.]37).Par le point A menoDs Fiç.137., une corde AD parallèle à LL', et alors Fangle A =:?^, comme correspondant, sera égal à Tangle LOB =;» ; et la corde supplémentaire DB , déterminée de position, formera avec le grand axe AB un angle égal à 6'; par conséquent , si Ton mène une parallèle NN' à DB, les angles NOB et DBC étant égaux comme correspondants , on aura NOB = 9, et par conséquent ô' = q, en vertu de Téquation (a8i).
577. Réciproquement, quand on donne une tangente ou un diamètre conjugué , et qu'aune corde parallèle est menée à cette tangente ou à ce diamètre conjugué, la corde supplémen^ire sera parallèle au diamètre qui passera par le point de contact.
378. Les cordes supplémentaires peuvent servir encore à mener une tangente à Pellipso. Si Ton veut par exemple qo^une tangente passe par
un point donné M, on mènera {Jig. i38) par ce point et parle centre O Fig.iS^. la droite OM , on tirera du sommet A la parallèle AG à OM; cette parallèle fera , avec Taxe des abscisses, un angle A équivalent à Tangle p.
379. Si donc, par la propriété des cordes supplémentaires , Pangle A est représenté :^ar 6 , Tangle GBX le sera par d' = q, et par conséquent équivaudra à Tangle formé par la tangente avec Taxe des abscisses j
donc il ne s^agira plus que de mener par le point M une parallèle MT •
à BG.
380. La même relation tang p tang 7 == tang 6 tang 6' existera dans l'hyperbole : si Ton veut déterminer la position de la tangente au
point M {Jig. 139), on mènera par ce point de tangenceet par le centre, Fig.!39. une droite OM , et par le sommet A on tirera la [parallèle AG à OM , et tirant ensuite la droite GB, la parallèle MT k cette droite sera la tangente.
38i. Pour compléter la ti^éorie des cordes supplémentaires , nous ferons quelques observations qui, si elles ne sont pas d'une grande utilité, montreront dû moins Paccord de l'analyse avec la forme des courbes, dont nous avons parlé dans ce chapitre. Le signe négatif qui a lieu dans Téquation (280) quand e]je se rapporte à l'ellipse, nous apprend que les tangentes sont alors de signes contraires, et que par conséquent l'nn des angles est aigu et l'autre obtus j représentons ce dernier parMBX (^^.140), l'angle intérieuf MBA sera donc aigu , anssi bien Fig.140 . que l'angle A qui l'est, ep vertu de l'équation (180), parce que MBX est obtus ; il syit de là que la perpendiculaire MF tombera dans le triangle AMB; et comme l'ordonnée MP de l'ellipse est moindre que . l'ordonnée correspondante NP du cercle, il en résulte que l'angle AMB sera compris dans l'angle ANB , qui par conséquent ne pourra être qu''obtus, puisque ANB est droit, par la propriété du cercle.
236 THl&OKIE DES COUEBES DU SECOND ORDEE.
582. A regard de lliyperbole, l'équation taDg 6 tang 9' y qui s^ rapporte, prouve que les deux tangentes étant de mêmes signes, appartiennent à deux angles tous deux aigus on tous deux obtus. Dans le Ftg'i^i* premier cas, soient  et MBX (^.141) ces angles aigas; en considérant les angles intérieurs du triangle AMB, nous avons
A H- B -i- IVj[ == !i angles droits f d'où nous tirons
M = ^angles droits — (A -i- B):
donc M sera obtus , si la somme des angles A et B vaut moins qu^un angle droit, et sera aigu dans le cas contraire.
385. A regard du cas où les deux angles sont obtus, toute la différence qu''il y aura , c^est que les côtés AM , BM, au lieu de se rencontrer en M , se rencontreront en M'.
