CHAPITRE XXII
De la transformation des coordonnées en général.
584. Nous avons -vu, en traitant des diamètres conjugués, qu'on était quelquefois dans la nécessité de rapporter la courbe à de nouvelles coordonnées , et que ces coordonnées n'étaient pas toujours rectangulaires. Nous allons maintenant examiner les diverses formules qui ont lieu lorsqu'on veut opérer ce changement. Soient donc a; et ^ les coordonnées d'un point M Fig. 142. {fig* 1 42)? déterminé par le concours des coordonnées AP etPM, relatives à des axes rectangulaires AX , AY ; la position de ce point M serait également déterminée, si , ayant pris deux nouveaux axes AX', AY', fondant avec l'axe primitif AX des angles arbitraires X'AX, Y^AX, on connaissait les coordonnées AQ = x' et QM = j* ' de ce point.
x' et jr' sont. donc dçs fonctions des angles X'AX, Y'AX, et des coordonnées x, jr'y réciproquement y x et y sont des fonctions de jc', / ' et de ces angles.
TRANSFORMATION 0£S COORDONNÉE EN GÉNÉHaL. 2 87
58^. Cherchons la relation qui existe entre ces quantités. Pour cet effet , menons les parallèles QN , QL , aux axes primitifs AX , AY ; et soient l'angle X'AX = /? , et l'angle Y 'AX , ou MQN = ^ : on a évidemment
a: = AP =i= AL -f- QN,
j == PM = QL -1- MN, Fig.i4a.
et , d'après l'art. 8tf ,
f AL = ar'cos/?, QL = ^'sin/?, QN=3=jr<cos^, MN=;j'sin^.
Substituant ces valeurs , on trouve
- . ^' > «... (282), formules
X •=. x' cos p + y
7 = ar' sin/? -h y pour passer d'un système de coordonnées rectangulaires Xj y a un système de coordonnées obliques a:'^ y'^ l' origine étant la
même.
586. Je dis que l'origine est la même ; car en faisant y = 0 et ^ ' = o , on trouve xel y nuls.
387. Si les nouvelles coordonnées sont aussi rectangulaires , rang* MQX * z=z q — p sera droit ; on aura donc
et, par conséquent,
sin ^ *= sin (90 4-/? ) = sin 90 cos/? + sin p cos 90 ; cos 9 = cos (90 -{-p ) = cos 90 cos/> — sin 90 sin/? ;
et comme sin 90 = i , et cos 90 = o , les vuleurs de sin q et de cos q se réduisent à
sin q = cos /? , cos ^ .= — sin p. . . . (aSSj
24o THÉORIE DES COUEBES DU SEGOUD OEOES.
Les quatre valeurs des lignes A'L, QL, QN, MNj se trouvent immédiatement par le théorème de la trigonométrie (art. iOO) qui nous agprend que les sinus des angles d'un triangle sont proportionnels aux côtés qui leur sont opposés , et en observant que Tangle QL A' a le même sinus que QLX" = r ; nous avons donc
sin A'LQ : sin A'QL::A'Q:A'L, ou sinrisin/w :: af : A'L;
^inÀ'IiQ:sinQÀ'L::A'Q:QL, ou sinr: sin/? :: x' : QL ;
an MNQ : sinQMN ::QM iQJS, ou sinr: sin n \\ / :QN ;
^ sin MNQ : sinMQN : : QM :MN, ou sin r -.[sin q : : / : MN ;
on tire de c^ proportions
A'L=y?iHi!î, QL=x«. QN=/'45^, MN=.y«.
Sin r sm r ^ sm r sm /
t" Substituant ces valeurs dans celles de «r et de ^^ nous aurons
, sinm ,sin;2
xzrza-^af -; — + r' -, »
sm r ^ sm r ,
}. . . . (287) , , sm D , sm 7 '
sin r sm r
et parce que dans le triangle A'QL la somme des angles/? et m vaut Tangle extérieur QLX" =r r, et que dans le triangle Fiç.t44. MQN [fig. 14^) on a ^ H- « = MNI = r, on pourra substituer km et à /t les valeurs r— -jolet r — • ^, et les formules précédentes deviendront
sm r sm /^ ' f
, . , sm /? , sm <7 l
sm r "^ .sm r 1
formules pour passer d'un système de coordonnées obliques à
