CHAPITRE XXIV
Des équations polaires.
408. Jusqu'à présent nous avons déterminé la position de chaque point d'une courbe au moyen de deux coordonnées variables X et j y et d'un angle constant qu'elles forment.
Supposons maintenant que l'une de ces coordonnées soit constante et que l'angle varie, nous aurons un nouveau procédé pour construire la courbe. En effet , si l'abscisse est constante et que nous la prenions égale à la distance du sommet au foyer. Fi (j. 146. lorsque nous ferons varier (fig. 146) l'angle y = FMB, l'ordonnée FM deviendra successivement FM', FM", FM''', etc., et déterminera les points* M', M'', M"', etc., delà courbe. On ' a donné à cette ordonnée variable le nom de rayon vecteur.
Si une équation établit une relation entre le rayon vecteur etf , et qu'on fasse varier successivement cet angle ^, on pourra déterminer les valeurs correspondantes du rayon vecteur.
409. Pour trouver cette équation lorsque la courbe est une ellipse , cherchons d'abord la relation qui existe entre le rayon
Fig. 147. vecteur FM [fig. i47)> ®' ^^s coordonnées 0P = aret PM =^. Soient FM=« et OF = c, on a évidemment
FM' = PM» -f- (OP 4- 0F)%
ou ^»=:j2 4-(x4-c)^
Mettant dans cette équation la valeur de y^ tirée de l'équation de l'ellipse rapportée au centre , on a
«' = ^ («*—*') -4- (x -f-c)n ou en développant
DES' ÉQUATIONS POLAIAESi^
et ordonnant par rapport à jr,
ou
J?^ H- 23iCX + C' -f- ^^
Éliminant b^ au moyen de l'équation (i6o) c^=fl' — i» (art. 261), on trouve
ncx
et par conséquent
Or, par hypothèse, la ligne FM qui représente z est supposée être positive. Donc nous ne prendrons que le signe supérieur, et nous aurons seulement
ex
z=ia-h—' {**)
(^) Si Ton Tdnt savoir ce qae signifie la valeur de s prise avec le signe inférieur, elle indique quHl faudrait porter la seconde valeur de 9 dans le sons contraire , c'^est-à-dire do F en M'.
ex Car la seconde valeur de s étant ^ = — a , on voit que quel
que soit le signe de x, le rayon vecteur z doit être négatif, parce que a*
ex surpassant ex, il &ut que — soit moindre que a ; or, Tabscisse du
point M' est d'un signe contraire à celui qu'elle avait pour le point M : il faut donc changer le signe de x dans cette seconde valeur, et Ton aura
ex FM' = a -+- — .
(«*) Cette valeur de z est la même que nous avons trouvée pour s', tquation (i58 ) ( page i56) ; aussi peut-on éviter les calculs de Tart. 400, en se fondant sur Péquation démontrée art; SOO.
410. Il est facile maintenant d'exprimer la valeur de z en Fig.i47 fonction de Tangle y = MFP {fig» i47)-
Pour cet effet, soit x' Pabscisse FF comptée du foyer, on a , d'après l'inspection de la figure, x = x' — c. Substituant , il vient
x' — c a^ — c^ ex'
Faisant x' =1 z cosip, l'équation précédente devient
a^ — c^ cz cosç
az — cz cos f = a' — c^ ,
et enfin
a — c cos f '
ou plutôt (art. 261), équation 160,
a — c cosç'
équation polaire de V ellipse rapportée au foyer F, V angle «j> = MFB étant supposé aigu»
