DES ÉQUATIONS POLAIRES

Si Tangle 7 devenait obtus , il faudrait changer le signe du terme e cos 7.

412. Pour trouver l'équation polaire de l'hyperbole, en nommant toujours z le rayon vecteur FM {fig> i48)> nous Fig. 148. avons

Substituons dans cette équation la valeur de y tirée de l'équation de l'hyperbole rapportée au centre, nous aurons

z^ = -j (4:* — à") -H (c + xf

= 1 I -\ 1 j;' + 2CX — 6' + C-.

Éliminant b^ au moyen de l'équation c' = a^-f- 6^ (art. 292) , nous trouverons

Z^ = i- 2CJP

d'où nous tirerons

a'=(^-. + ay.

z zzz — X -\: a, a

415. Quoique cette équation se présente sous la même forme que celle que nous avons trouvée pour l'ellipse , elle en diffère par les valeurs qu'on donne à c dans ces deux équations.

Nommons^' l'abscisse FP comptée du foyer, nous aurons

âaJ — — %JL ' " *"■' C •

Substituant cette valeur, nous obtiendrons

ex' (c^ — a^)

et faisant x' inz cos 7 , il viendra

cz cos © c"^ — à^ a a ^

d'où il sera facile de tirer

OU plutôt (art. i92),

c cos ç — a^

t cos ff — « '

équation polaire de V hyperbole rapportée au foyer F, l'angle f = MFB' étant supposé aigu,

414. Comme on Fa fait pour Tellipse , si l'on divise les deux

termes du second membre de cette équation par a et qu'on

remplace -— par/? et - par e^ on obtiendra

e cosç — ^ I ^ '

équation dans laquelle/? sera le demi-paramètre qui est une troisième proportionnelle aux demi-axes a et by et dont le coefficient e exprimera le rapport de l'excentricité au demi-grand axe.

4iS. Enfin , si l'on ùomme z le rayon vecteur FM de la pa- Fig.i49* rabole {fig. i49)> ^^ observant que la distance du foyer F au sommet A est le quart du paratnètre 2/7 , on a AF = |^. Cela posé, le triangle rectangle FMP nous donne

FM» = FP» 4- MPS

ou FM» = ( AP — AF)» 4- MF j . . . (307)

et comme nous venons de voir qu^on avait

AF = 1/?, et que nous avons en outre

FM = z, AP = a:, PM» =;= 7» i= 2/7JC, en substituant ces valeurs dans l'équation (307), on trouvera

z^ = x^ -^ px -{^

DES EQUATIONS POLAIEKS. 257

OU f parce que le second membre es( un carré parfait ,

d'où Ton tirera

Nommons j:' 1* abscisse FP cornptée du foyer, 6n dura

et la valeur de z deviendra

et mettant z ces g) à la place de x% et tirant la valeur de or, on obtiendra

^ ~ 1 — cos?' • • • • (^^^)» ^q^^^oH

polaire de la parabole rapportée aufoyerYy l*an^le o =: MFX étant supposé aigu.

416. En comparant entre elles les équations (3o5), (3o6) et(3o8), observons que l'angle ^ étant supposé aigu dans le sens des x et des y positifs, z doit être positif, ce qui exige que e soit moindre que l'unité daiis Inéquation ( 3o5) et surpasse l'unité dans l'équation (3o6) (*); et si, de plus, on remarque qu^ e est remplacé par l'unité dans l'équation (3o8 ) ^ on en conclura que l'équation polaire appartiendra à l'ellipse ^ à la parabole ou à l'hyperbole , selon que l'on aura

e <^i^ e'"^ i et p = i.

(*) On peut d^nillcurs remarquer que dans la fraction-, qui eël \à

valeur de e, le npmérateivt' c est moindre qoe a dans Tellipsc, et surpasse a dans Thyperbole; d'où il suit que, dans le premier cas, e est moindre que Tunité, et IVmpôrte sur Tunité dans le second.