SEMBLABLES
mais
la
proportion (Sog) nous
donne
subsdtuapt cette valeur dans le second membre de Téqua-» tion (3 10) 9 et supprimant le facteur commun, il reste
Considérons ensuite les triangles ODP , OD'P', qui sont semblables, à cause de Tangle commun O et des angles droits en P et en P' ; ces triangles nous donnent les proportions
y : y' :: jo : x% jb-- : x-' :: d : d' ;
d*o{' nous tirons
X X x^ d fi %\
An moyen de la première de ces équations , on peut changea l'éqaation ( 3 1 2) en celle-ci :
multipliant les deux membres par le pi^ôduit des dénomind-^ tears et réduisant, on obtient
d'où nous tirerons
a'x'^ = fl'^x»,
mettant dans cette équation la valeur de -^donnée paf la so^ conde des équations ( 3 1 3) , on obtient
!^.6o THÉOEIE DES GOUEBES DU SECOND ORDILE.
donc a : a' :: d : d'\
ce qui prouve que les demi-diamètres sont entre eux comme les demi-grands axes.
Potir deux autres demi-diamètres OÉ = <? , OE' = e' Fig.iSo. [fig' ï5o), on prouvera de même qu'on a
419. Les deux premiers termes étant les mêmes dans ces proportions , il s'ensuit qu'on a
d'où il faut conclure que deux demi- diamètres de la plus grande courbe sont coupés proportionnellement par la plus petite.
4i0. Il est facHe maintenant de démontrer que dans des ellipses semblables ^ les contours sont comme les axes.
Fîg.iSi. En effet, les triangles ODE, OD'E'(/g'. i5t), d'après la démonstration précédente, ayant leurs côtés proportionnels, sont semblables ; donc Î)E et D' E' sont dans le rapport des axes ; il en est de même de tous les triangles OEF, OE'F', OFG, OF^G', etc. \ par conséquent
DE : D'E' :: EF : e'F' i: FG f F'G^;
et puisque dans une suite de l'apports égaux la somme des antécédents est à la somme des conséquents comme un antécédent est à son conséquent , on aura
DE + EF-hFG H- etc. : D'E'-f- E'F'+F'G'-4- etc. : : DE : D'E',
ou parce que k rapport des demi-axes peut être substitué à celui de DE à DE', on pourra écrire
DE + EF + FG + etc. : D'E' + E' F'-h F'G' + etc. :: « :«';
d'où il suit que les contours des polygones inscrits à deux
DES COUBBES SEMBLABLES. 26 1
e11i^>ses semblables sont comme les demi-axes, ou pour mieux dire comme les axes.
421. Si Ton passe aux limites, on pourra substituer les ellipses aux polygones qui leur sont inscrits , et conclure que les contours des ellipses sont entre eux comme les axes.
Les triangles semblables ODE, OD'E'; OEF, OE'F'; OFG, OF'G' ; etc. , étant entre eux comme les carrés de leurs côtés homologues , il s'ensuit que les polygones qui résultent de la somme de ces triangles sont ds^ns le même rapport ,. et qu'on a
pofygoneiyEFQy etc. : pofygone T>' E' F'Q^ :: OD» : OD'^;
les ellipses étant les limites des polygones que nous venons de considérer, concluons que deux ellipses semblables sont entre elles comme les carrés de leurs demi-diamètres homologues ou comme les carrés de leurs deqoi-axes, ou^en quadruplant le dernier rapport, sont entre elles comme les carrés de leurs axes.
422. Toute la théorie que nous avoiii énoncée sur les ellipses semblables peut s'appliquer à Thyperbole.
Mais ce qui est particulier à cette dernière courbe , c'est ^ue si deux hyperboles ont le même centre et le même axe des abscisses , elles auront les mêmes asymptotes. En effet , soient a , b et a\ b' les demi-axes de ces courbes, on aura , d'après leur similitude,
-=:-yj. ...,..,., . 3i4 a a
or, - et — représentant les tangentes tngonometnques des angles que les asymptotes font avec Taxe des x , ces angles seront égaux , et les asymptotes des deux courbes se confondront.
425. Les équations de nos deux tiyperljroles sepiblable^ rapportées à leurs asymptotes étalât (
262 THEORIE DBS GOUEBES DU SECOND ORDRE.
divisons le sçcond membre de la première par a % et multiplions en dehors par la même quantité ; opérant de même pour la seconde équation, nous trouverons
divisons ces équations Tune par Tautre , nous trouverons
Or, en vertu 4e Téquation (3x4)9 cette dernière se réduit à
xy a^
mais si Ton prend la même abscisse pour les deux courbes , en faisant jç=:x'y cette équation nous donnera
d'où il suit que les ordonnées à une même abscisse seront entre elles comme les carrés 4es demi-grands axes ; ce qui nous fournira un moyen commode de tracer Tune de ces hyperboles lorsque l'autre sera donnée.
424. Enfin 9 lorsque 6 = a et que h^ z=.a\ ce qui a lieu dans le cas de l'hyperbole équilatère , on a
l'égalité des seconds membres de ces équations entraînant celle 4çs premiers 9 on a nécessairement
ce qui montre que la condition de similitude est remplie pour toutes les hyperboles équilatères, et prouve que ces sortes d'hyperboles sont toujours semblables.
42$. Jusqu'à présent nous avons fait partir les rayons vecteurs du centre commun de deux courbes placées l'une sur l'autre, et dont Taxe des abscisses a la même direction, et nous avons démontré ( art. 419 ) que pour que ces courbes fussent semblables , il suffisait que deux rayons vecteurs quelconques de la plus grande fussent coupés proportionnellement par la plus petite. Nous allons maintenant prouver que, pour tout autre centre C pris au Hasard dans l'intérieur de la surface commune de ces courbes , les deux rayons CM , C'N {fiS' ^Sa) seront coupés proportionnellement par le contour Fîjî**^ de la plus petite courbe.
Pour cet effet, nous unirons les centres G et C par une droite CC, et du point Q! nous mènerons les deux rayons vecteurs CM , C'N. Cela posé, les rayons vecteurs CM, CN, qui partent du centre C, étant partagés proportionnellement par le contour de la petite ellipse, nous avons par hypothèse (art. 419),
CM : C/71 :: cn : C/ï - . (3i5)
Il s'agit de propver qu'il en est de même de CM et de Q!^ , qui partent de C\ Pour cela , du point /7i menons /itr parallèle à MC, les triangles CA»r, CMC donnent
CM : C/w :: ce : Cr;
on tire de cette proportion et de la précédente (3 1 5) ,
CN : C/i :: CC : Cr (3i6)
Celte proportion prouve que la droite nr est parallèle à NC, et montre que CN et CC sont coupés proportionnellement. Nous aurons donc encore , en vertu des triangles semblables Crtr, CNC,
CN \ m :: CN : C/j; (3i7)
S64 TnéOEIE DES COURBES DU SECOND OEDEE.
et les triapgles semblables Onr, CIVIG ' nous donneront celle-ci :
CM : 7771 :: CM : Om.
Si dans cette dernière proportion nous remplaçons le rapport de CM à Çni par celui de CN à C« , tiré de la proportii)n (3i5), nous obtiendrons
CM : rm :: CN : C/i. . . , . , . (3i8)
Les seconds rapports des proportions (3i7)et(3i8) étant les mêmes 9 nous aurons
CN : m :: CM : w/. ..... . (319)
Or, si nous observons que les angles nrm , NCM, formés par des côtés parallèles , sont égaux, nous pourrons, en menant ces côtés parallèlement à eux-mêmes, faire glisser le secteur de la petite courbe sur CC^, de manière à amener Tangle r sur Pan-' gle C^ Dans ce cas , rm tombera de C^ en m\ et m prendra la position Ç!n*', Les points ut et n ainsi transportés en m' et en n\ appartiendront donc encore à la petite courbe ; et , au lieu de la proportion (3ig), nous aurons celle-ci :
CN : çv :: cm : Cm';
ce qui prouve que les rayons vecteurs CN, CM, partis du centra C, comme ceux dont C est le centre , sont coupés proportionnellement par I9. petite courbe* C esit ce qu'on appdie un centrc^de similitude.
426. Cette démonstration s'appliquant aussi bien à Thyperbole qu'à l'ellipse , il en résulte que , lors(ju'on a deux ellipses ou deux hyperboles semblables , et qu'elles ont le même axe des abscisses , les rayons vecteurs, partis d'un même foyer jouissent, comme le centre, de la propriété d'être coupés proportionnellement par celle de ces courbes dont les branches se rapprochent le plus de Taxe des abscisses. ^
1117 • Démontrons maintenant que les parabole^ spQt toutes
des courbes semblables. Pour cela, soit {fig, i53)0 le som> Fig.i53. met commun de deux paraboles y placées de manière qu'elles aient le même axe des abscisses; menons par le point O la droite OM qui les rencontre en M et en N, ces points, étant sur les courbes, satisferont à leurs équations; de sorte que si nous représentons par x et y et par x' et y' les coordonnées OP, PM et OQ , QN de ces points , et par 2/0 et 2/?' les ])aramètres des deux paraboles , nous aurons
y^ =z 2px et x^ = 2p x' ;
mais les triangles rectangles OMP, ONQ qui ont Tangle commun O, étant semblables, i^ous donnent , entre ce$ coordonnées,
NQ:OQ::PM:OP,
ou y' : x' :: jr : x'y
donc - = ^/ (32o)
428. Maintenant, soit F le foyer de la ps^rabole QM [fis* *53) ; menons le rayon vecteur FM, et par le point N Fig.i53. tirons la parallèle NL à ce rayon vecteur; les triangles semblables LNQ, FMP donneront la proportion
LQ:QN ::FP:PM, ou x' — OL : j' :: X— OF: 7 (821)
Mais le paramètre 2/7 de la courbe OM étant égal à quatre fois la distance du sommet au foyer, nous avons
