OM : ON :: OF: OL
et comme le rapport de OF à OL , d'après la proportion (324) , est égal à celui de p k p'y nous avons enfin «
OM : ON :: p :/?'.
On démontre de même (fig. i54) qu'en menant par le point 0 Fic-iS}. une autre corde OM' qui rencontre en N' la seconde courbe , on a encore
OM' : ON' :: p \p\
donc OM : ON : : OM' : ON';
ce qui prouve que OM et OM' étant coupés proportion-
268 THÉOBIK DES COURBES DU SECOND OUDRE.
nellement par la seconde courbe Om , deux paraboles quelconques sont des courbes semblables. £t si Ton considère que la similitude des triangles OMM', ONN' établit que les cordes MM'j NN' sont dans le rapport de p k p'y il sera facile de prouver que les polygones inscrits aux deux courbes sont dans ce rapport , et quMl en est de même des arcs de paraboles , limite des côtés de ces triangles.
Puisque dans les deux paraboles superposées nous avons trouvé un centre d'où partent des rayons qui les coupent proportionnellement, concluons de Tart. 485 que les rayons vecteurs, partis d'un même foyer, jouissent de la même propriété.
450. Cherchons maintenapt Téquation des courbes semblables. Pour cela, soit/n le rapport des rayons homologues OM
fig. i55. etON {fig. i55); nous aurons ^ =/w. Mais les coordonnées des deux courbes étant aussi dans le même rapport, si x çt y désignent les coordonnées du point M, et ;t?' et j^' celles 4u point N , nous avons
OM : ON :: op ; OQ :: pm : qn,
oii OM : ON :: x \ x* W y \ x'i
et par conséquent ,
mi
tire de
ces é(|uations
: mx\
= 'ny',
et en substituant ces valeurs dans l'équation en x et en ^ que jious représenterons par F(^,j^)=:o, on aura Téquation
¥(mx\my')=z'o, (325)
DES COURBFS SEMBLABLES. 9.6c)
dans laquelle faisant varier l'indéterminée m y on obtiendra toutes les équations des courbes semblables à celles dont Véquation est ¥ {x^ y) =zj[>.
43t. Prenons par exemple l'ellipse dont Péquation est
En remplaçant xet y par mx' et par my'y nous aurons
m" à" j" + m^ b^ x'» = a^ b' ; divisant par m% cette équation deviendra
et peut être écrite ainsi
2 />3 ^1 Ixl
et Ton voit qu'elle représente une ellipse dans laquelle les axes
seraient — et ~ • m 77?
L'équation (326) étant comparée à une autre représentée par
on voit qu'ayant disposé de la quantité arbitraire m en posant
^ '=r — , nous n'aurons pas une seconde condition pour que
le demi-petit axe b' appartienne à la courbe semblable. Cette similitude n'existera que dans le cas particulier où l'on aura
b' = — , Il suit de là que les ellipses ne sont pas toutes des m
courbes semblables. Ce que nous disons de l'ellipse peut s'appliquer à l'hyperbole ; mais il n'en est pas de même de la parabole, comme nous l'avons vu. C'est ce dont nous pouvons encore nous assurer de la manière suivante :
432. Ayant substitué dans l'équation y"^ = ipx de la parabole les valeurs^ x = mx' et y = my\ nous obtiendropsVette équation
d'où nous tirerons
Or, une parabole quelconque dont l'équation est
sera toujours comprise dans l'équation générale (327) , ^n.dîs^ posant de m par cette condition ,
ce qui nous donne lieu de reconnaître de nouveau que toutes les paraboles sont des courbes semblables.
455. Supposons que les deux courbes n'aient pas la môme origine, mais que leurs axes soient parallèles; si Ton nomme OC, a et CD, h Fig. i50. {fig. i56) les coordonnées de Forigine de la seconde courbe , bien en» tendu que a et & seront positifs ou négatifs , selon le cas ; on pourra remplacer a:' par x — a, et ^' par y — b dans réV[uation (SaS) des courbes semblables , qui deviendra
et appartiendra à toutes les courbes semblables et semblablement situées, comme on le voit^. i56.
Enfin, on peut donner plus de généralité à Téquation des. courbes semblables, si dans Téquation F (mx, my)=iOy nous remplaçons xeXjr par les valeurs de ces coordonnées tirées des équations (a88) , et alors la courbe intérieure pourra avoir une position quelconque à Tégard de la première.
