Trouver un cube double d'un autre
Représentons par k le côté d'un cube donné , et par x celui du cube que Ton cherche , nous aurons Véquation
supposons x^ = 7.px. (329)
Nous voyons qu'il sera facile d'éliminer x du premier membre de réquation (828), car Téquation (829) nous donnera j?* = 4 P^y^ 5 ^^ mettant cette valeur de x* dans l'équation (828), multipliée par Xy nous trouverons 4/? ' r ^ = 2 /t^x, et en divisant par 4/>' et réduisant , on aura
(*) On sait que lorsque Platon parcourait la Carie, il rencontra des habitants de Délos qui lui pr^oposèrent ce problème, alarmés des prodictions des devins qui les menaçaient d^cpouvantables malheurs, s'^jls oe doublaient pas Tautel d^ApoIIan, dont la forme était cubique. ( Voyez mes Yics des plus grands hommes de Vantiijuitè.)
2^2 THÉORIK DES GOUBBES DU SECOND ORDRE.
et réqu^tion ( 32.8) seca remplacée par le système des deux équations (Sag) et (33o), qui, par Télimination de /, reproduiront la proposée.
t ig 1 57. Ayant donc tracé ( fig\ 1 57) les axes rectangulaires AX , AY, le point A sera le sommet de deux paraboles, dont Tune aura AY pour axe des abscisses et 2/7 pour paramètre, et dont
Tautre aura AX pour axe des abscisses, et — pour paramètre.
L'abscisse AP du point où ces paraboles se rencontreront sera le côté du cube demandé.
436. Nousavonsici deux paraboles à construire; mais Topération eût été plus facile si , au lieu de Tune de ces courbes , nous eussions eu un cercle. Pour parvenir à ce but, nous observerons d'abord que les valeurs de x et de j subsistant simultanément au point de rencontre dans les équations ( 329) et ( 33o) , il en sera de même si nous ajoutons ensemble ces équations ; dans be cas nous aurons
FI \^ ^ ^^^ facile de reconnaître ici [fig- i58) l'équation d'un cercle dont l'origine des coordonnées est à l'extrémité A de la corde AB parallèle à OD : en effet , soient x^X. y les coordonnées AP et PM d'un point M de la circonférence, A£=:ay E0= h celles du centre, et r le rayon OM j le triangle rectangle OMQ nous donne
ou [pc — af -h (r — l)f = r^; ^
développant et transposant les constantes, on obtient
a?' 4- 7* — 7,ax -^ihy-znr^ — à^ — è* ;
le second membre se réduisant à zéro en vertu du triangle rectangle AEO , il reste
^1 y. j"^ -ziz lax -{- 7,hr\
DUPLICATION DU CUBE, ETC. Q.'jS
cette équation nous montre que Téquation (33 1 ) appartient à un cerôle qui à pour coordonnées du ceiiU*e la moitié de — ^ et p.
Le point d'intersection de ce cercle avec Tune de nos paraboles^ par exemple avec celle qui est le lieu de l'équation (329) , nous donnera une seconde solution du problème.
Après avoir construit, à l'aide de l'équation ( S^g), une pambole sur Taxe AY ifig* i58), on déterminera le centre 0 du Fip \58-
cercle en prenant AE =^ i I — ; ) , et en élevant à l'extrémité
de A£ la perpendiculaire EO =± /? ; on décrira alors avec le rayon OA un cercle qui ôoupera la parabole au point M, dont l'abscisse AP sera le côté du cube cherché.
457. On pourrait aussi résoudre le même problème par l'intersection de la parabole et de l'hyperbole ; en effet , soit une parabole qui ait pour équation
x"" ^=. ay\ (332)
si l'on introduit cette valeur de x^ dans l'équation (328) , on
trouvera , axy = 2A-% (333)
et l'on voit que les courbes qui appartiennent aux équations (332) et (333) par leur intersection, résoudront le problème ; mais que la construction de Thyperbole sera plus difficile à' exécuter que celle du cercle.
Observons que l'équation ( 328) n'ayant qu'une racine réelle (*), il en résulte qu'il n'y a qu'un point d'intersection entre les courbes.
458. Le problème de trouver deux moyennes proportionnelles entre deux nombres, non moins célèbre dans l'antiquité ,
( * ) Pour le démontrer, remplaçons ok* par n'A' dans Téquation (3a8), et faisons passer le second membre dans le premier, nous avons l'équation '
à laquelle on satisfait en faisant x = nArj donc Péquation (334) ^^^ <livi-
se résout de la même manière. En effet , scnent aeib ces deux nombres ; si nous représentons par x et par jr deux moyennes proportionnelles y nous aurons , par la nature de la question ,
ce qui nous fournit les équations
x^ z=: ay-y jr^ =z bxy (335)
et nous voyons qu'on déterminera x par Tabscisse du point d'intersection des deUx paraboles. Tirant la valeur de x de là seconde des équations (335), et la substituant dans la première, on obtiendra j ^ =r ai % équation dé même forme que l'équation (328), à laquelle donne lieu le problème de la duplication du cube y a^^ étant une constante aussi bien que 2^^.
459. Le problème de la trisection de l'angle , que nous avons résolu (art. 156 ) , nous conduit à une équation du troisième degré , dont la racine réelle se détermine de la même manière.
En effet, si nous faisons évanouir le diviseur r* de l'équation (117) ( page g8 ) , nous aurons
x^ — 3r'a7 -I- ar^ .= o;
multipliant cette équation par x , elle devient
jc* — 3r*x^-4- ar^x = o, (336)
et Ton voit qu'en faisant
^' = ny,: (337)
sible exactement par x — nk^ effectuant cette division, nous' pouvons remplacer a:*— ii»A:' = o par (x — n*) (x'-MiAar-|-n'A') = o.
Pour décomposer en facteurs x" -f- nkx -mi* *• = o , nous résoudrons cette équation du second degré, et nous trouverons
j:t= — InJtdbV/— |n*A*; par conséquent, Fcquation (334) revient à
(x ~ nA: ) (x -h i nA: - sj- \ n^k^ ) (x -f- i nA -f- sj- | n«A») = o; donc il n'y a qu'un des trois facteurs de l'équation (334) qui soit réel.
DUPLICATION DU GUBS, ETC. 5l'j5
réquation (336) deviendra
/22j2 — 3r^n^ -^ ar^x =: o, et donnera
3^^ ar^x
ajoutant cette équation à Téquation (337), ^n obtiendra
équation du cercle qui, avec Téquation (337), résoudra le problème en faisant couper la parabole qui appartient à 1 equation (337) > P^"^ ^^ cercle qu'on déterminera , comme dans rart.456.
440. En général , une équation à une seule inconnue x étant donnée, on pourra la considérer comme le résultat de l'élimination de y ^n^re les équajdons de deux courbes qui ont X ex. y pour coordonnées. Lorsque ces courbes sont du second ordre , la proposée ne pourra surpasser le quatrième degré; et entre les équations du second degré qui par l'élimination peuvent donner la proposée , les plus simples seront préférables : on se conduira pour leur choix, comme dans l'exemple suivant.
441. Soit l'équation x^ — px'^ — qx — r=o i je prends arbitrairement l'équation
qui est celle d'une parabole; la valeur de a:* qu'elle me donne étant mise dans la proposée , j'obtiens
^2^2 — pajr -7 ^^ — r = o , .... (340) ou plutôt
^.^if!L = o (340
Cette équation est encore celle d'une parabole. L'équation (339) n'offre aucune difficulté dans sa construc-
tien ; car elle est celle d'une parabole M'AM'', qui ayant son Fig.159. sommet àTorigine A [fig* iSg), a pour axe des abscisses AY, pour axe des ordonnées AX , et dont le paramètre est a.
44Î. La construction de la courbe donnée par l'équation (340) s'exécutera lorsqu'on aura fait dépendre cette courbe d'une équation plus simple , ce qui demande quelques préparations : pour cet effet , soit en général l'équation
Ajr»»-!- Br~> -{- C/'«-2 -f- . . . -f- Rj + S =r 0. . .(342)
.L'Algèbre nous apprend (*) que si dans cette équation on substitue
on obtiendra une autre équation en 7' du même degré , mais qui sera délîvi*ée du tertne affecté de la puissance m — i de l'inconnue. D'après cette remarque, on pourra donc faire évanouie le second terme de l'équation ( 34o) , en supposant , d'après la comparaison des équations (34o) et (342) ,
(*) Pour le démontrer, ayant divisé par A cette équation, Cuisons
elle devient
>'*" -f- ma
etc.
etc.
etc.
On peut déterminer la quantité arbitraire a en égalant 3 zéro le coefficient der'"*"'» ce qui donnera
mA
'mettant cette valeur dans l'équation y =.y* + a , on obtient
B mA
. DUPLICATION du' CUBE j ETC. 2']']
et réquadoQ (34 1 ) se réduira à
OU plutôt k
ou à .y"= î-a/, (344)
en faisant x + - — . ^ = x' ;
et réquation ( 344 ) construira la ntéme courbe que Téqua-* tion (34i)> mais avec une origine différente. Pour former cette courbe y l'équation (343) nous donnant
on voit {^g- iSq) que toute ordonnée PM construite avec l'équation (341) diffère de — de l'ordonnée QM déterminée par
l'équation (344) ' ^^ ^^^ correspond à la même abscisse AP. Or, l'axe AX étant relatif à l'équation (341)9 si à une distance
AA' = — de cet axe , on mène une parallèle A'X', toutes, les
ordonnées construites d'après Féquation (34 () se trouveront
raccourcies (*) de ~ ; on voit de même que , puisque
•la le nouvel axe tomberait au-dessous de AX/
{*) Elles seraient allongées de ~, si cette quantité était négative, et
chaque abscisse x' doit différer de x d'une quantité
Le point A" sera donc l'origine des x' , Ayant construit la parabole sur Taxe A'' X' au moyen de l'équation (343), cette courbe 9 considérée relativement à l'origine A, aurait été donnée par réquation (340 (*)•
Donc^ si l'on élimine y entre les équations (339) fet (34i) , les abscisses AP', AP'% AP'", AP'^ seront les valeurs de x communes aux deux équations (339) et (34i )> et par conséquent seront les racines de l'équation
x^ — px'^ — qx — r=:o.
445. Si les courbes ne se rencontraient pas en quatre points, l'équation proposée aurait des racines imaginaires.
444. L'intersection de la ligne droite et du cercle nous a servi (chapitre IV) pour construire les équations du second degré; les intersections des courbes du second ordre suffiront pour construire les équations du troisième et du quatrième
degré.
Ainsi , pour construire ^ , je supposerai j: = y/« , donc x^ z=.a. Cette équation étant de la même forme que celle que le problème de la duplication du cube nous a donnée (art. 453), se. résoudra de la même manière , en prenant pour la seule racine réelle de x l'abscisse du point d'intersection de deux paraboles.
('*' ) On Yoit que la construction de la courbe sur Taxe AX, au moyen de réquation (34i ) > se réduit à changer d^axe pour construire la courbe avec une équation plus simple, et ensuite à reprendre Taxe AXet Pé -> quation qui s^y rapporte.
DES SECTIOHS CONIQUES ET €YLINDE1QU£S. 2']Q
