CHAPITRE XXVII

Des sections coniques et cj'lindriques,

445. Les quatre courbes dont nous avons fait connaître les propriétés , le cercle, Tellipse , l'hyperbole et la parabole , sont celles que les anciens ont comprises sous le nom de sections coniques , parce qu'oa les obtient suivant la manière dont on coupe le cône par un plan.

Prenons un cône droit , et supposons qu'il soit coupé par un plan qui passe par son axe , on sait, d'après la génération même du cône, que la section sera un triangle SAB (y^*. i6o). Me- Fig.iGo. nous un plan CDMM' perpendiculaire à ce triangle ; suivant la direction que prendra la commune section CD du plan sécant avec le plan de ce triangle SAB , on déterminera la nature de la courbe formée par la section de la surface du cône.

Ainsi , comme nous allons le démontrer, on aura i'ellipse si cette commune section , partant d'un point C du côté AS , rencontre l'autre côté SB en un point D ; tandis que si la commune section (fig. i6i) est dirigée suivant CD', de manière qu'elle Fig.i6i, ne puisse atteindre le côté SB du triangle que sur le prolongement SD' de ce côté, la droite CD' n'atteindra jamais SB, quelle que soit la grandeur du cône ; dans ce cas , la section de la surface donnée sera une hyperbole.

Enfin l'intersection commune CD" peut se trouver parallèle au côté SB du cône, et alors SB et CD" ne s'atteindront jamais , et la section sera celle d'une parabole; mais , si le point de rencontre est à l'extrémité D'" de la parallèle CD'" à la base AB du triangle ABC , la section sera un cercle.

446. Démontrons maintenant que, dans le cas où la droite CD rencontre les deux côtés AS , BS du cône {fig. 160) , la courbe Fig.j6o. que le plan coupant détermine sur la surface convexe de ce

cçne est une ellipse. Pour cela , soit (fig, 160) un cône droit ; Fig.i6o.

280 THEORIE DES GOUABKS DU SEOOND OEDEE.

ii^ig. 160. faisons passer par Taxe de ce cône le plan SAB ; ce plan y parce qu'il renferme cet axe, sera perpendiculaire à la base du cône , et par conséquent aux sections circulaires EMF, GM'H parallèles à cette base. Par les deux points C et D des côtés SA, Sfi , du triangle SAB > menons ensuite un plan GMD perpendiculaire à celui du triangle SAB , les plans GMD , EMF étant perpendiculaires au plan SAB, leur commune section PM (d'après un théorème de Géométrie^ sera aussi 'perpendiculaire au plan SAB. Il en sera de même de la commune section P'M' fournie par la rencontre des plans GM'D et GM'H. Or, il est évident que les extrémités P et P' de ces communes sections tomberont sur GD, puisque cette droite renferme tous les pieds des perpendiculaires situées dans le plan sécant. On voit en outre que les commune^ sections MP9 M' P' sont à la fois des ordonnées des cercles EMF, GM'H, et àe la courbe GMD. Gela posé, les triangles GEP, GGP', à cause des parallèles EF , GH , sont semblables et donnent

EP : GP' :: Gp • CP'.

Les mêmes parallèles établissent cette autre proportion entre les triangles DPF et DP ' H , dont elles prouvent la similitude :

PF : P'H :: pd : p'D;

multipliant ces proportions par ordre , nous avons

EP X PFj GP'X P'H :: GP X PD : GP' X P'D.

Dans le cercle , les carrés des ordonnées étapt égaux aux produits des abscisses correspondantes , on peut remplacer les deux premiers termes de cette proportion par le rapport de MP»àMP'% etl'ona

MP^ : M'P'» :: gpxpd : gp' x p'D;

on tire de là