MP^ = M'P'»X

GP'XP'D *

or , si le second cercle a été mené de manière que Je pied P'

de la perpendiculaire M'P tombe sur le milieu de CD, nous aurons CP' =i P'D , et l'équation précédente deviendra

MP'=^(CPXPD); (345)

maisGP^ et M'P' sont les demi-axes â et ^ de l'ellipse, et si nous nommons CP, j:, PD aura pour expression na — x, et nous pourrons remplacer le produit CP X PD par (aa — x)x; au moyen de ces valeurs, on pourra convertir Téquation (345) en

X^ z=z — (2ax — x""),

qui est la mélne que celle de l'art. 270.

^447. Dans le cas où la droite CD (fig, i6o) devient parai- fig.iCo. lèle à AB , et où par conséquent les côtés SC et SD sont égaux , il est évident que la section est un cercle.

448. Considérons maintenant le cas où la ligne CD ( fig. 162) p|g ^^^ n'atteint le côté SB que sur son prolongement.

Si de deux points M et M' on abaisse également des perpendiculaires MP et M ' P ' sur le plan du triangle ASB , et que par ces points on fasse passer des cercles parallèles à la base, ces perpendiculaires MP et M' P' se confondront avec les ordonnées des cercles aux points M et M', et les triangles semblables CEP, CGP' donneront

EP : GP' :: cp : CP'-,

d'un autre côté, la similitude des triangles RPF, RP'H donnera

PF : p^u :: rp : rp'.

Multipliant ces proportions par ordre , on obtient

EPXPF : GP'XP'H :: CPXRP : CP'X RP';

les deux premiers termes dé cette proportion , n'étant autre chose que les produits des abscisses des cercles EMF , GM ' H aux points P et P ', peuvent être remplacés par les carrés des

ordonnées correspondantes à ces points : on a donc

PM^ : v'W :: cp X PR : cp' X RP' ,

ou PlVPlP'M'* ::CPX(CR + CP) :CP'X (CR-hCP');

or, si nous observons que CR est une quantité constante que nous pouvons représenter par 2a , et que CP et CP,' sont deux abscisses de la courbe que nous pouvons désigner par a: et ^ ', correspondantes aux ordonnées PM =r et P'M' = j ', cette dernière proportion devient , en y substituant ces valeurs ,

ce qui prouve que les carrés des ordonnées sont comme les produits des distances des pieds de ces perpendiculaires aux deux sommets de la courbe situés à un même côté y propriété de l'hyperbole.

On tire de la proportion précédente

"•'— "^ — (2flX4-^'),. . • . (346)

et si l'on prend pour x ' et pour y ' l«s coordonnées du centre O , milieu du grand axe 2 « , la valeur de ^' étant négative , Fig.148. puisque nous comptons les abscisses du sommet B (fig, i^S) , on fera a: ' = — a; à F égard de j', cpmme cette ordonnée quia son pied au point O n'atteint pas la courbe, elle est îmaj^naire; et, en effet, Téquation (346) nous donne

et, en remplaçant jî' par — a, ce qui est entre les parenthèses se réduit à — a % et l'équation (347) devient

or Tabscisse x étant par hypothèse positive ( * ) , la valeur de y '* se réduit à une quantité négative de deux dimensions , . que nous représenterons par r—h'^\ ce qui donnera

et l'on trouvera

r'= — r-T A^ax -\- x'^)\

— a{ia — ay

réduisant, on obtient

équation dans laquelle on reconnaît celle.de Thyperbole rapportée au sommet (art. 500).