CP : DP :: EP : PF

d^où nous tirerons

CP 4- DP : DP :: ep -h pf : pF; ou CD : DP :: ef : pf,

et, en changeant les moyens,

CD : EF :: dp : pp, {35o)

l'ordonnée PM deviendra égale au rayon du cylindre , lorsque son pied I^ coïncidera avec le milieu 0 de CD. Dans ce cas, au lieu du cercle EMF, nous aurons un cercle È'M'F' parallèle à Tartre et plus rapproché de la basé AB. Or, Tintersection commune M'O sera , comme appartenant à ^ellipse , le demi-petit axe , et, comme appartenant au cercle, devra être un rayon , puisque les sections parallèles à la base sont des cercles égaux. Appelons h Tun de ces rayons, et a la moitié CO de CD 5 nous aurons donc

E'F' on EF = 26, et CD ou 2C0 = 2«;

et en prenant O pour origine , on a

'pp = a — ^, CP = aH-ar. (35i)

lia proportion (35o) , comparée à la proportion (349) » ^*"* laquelle on changera les moyens , tious donne

CD : EF :: CP : ep (352)

Remplaçons les trois premiers termes des proportions f35o)

et (352) par leurs valeurs analytiques, équations (35 1), on trouvera

2a : ^b :: il —■ X : pf, 2a : 2b :: â-\- x :EP;

supprimant le facteur commun 2 , et multipliant ces proportions par ordre, il viendra

a^ : b' :: {a — ^) (a -I- x) : pf x ep,

ou a^ : b^ :: (a^ — x^) : PF X EP; (353)

or, PF et EP étant les abscisses correspondantes à J'ordonnée PM du cercle de la section , leur produit pourra être remplacé par j*% et par conséquent la. proportion (353) peut se changer en celle-ci :

d'où nous tirerons

Nous reconnaissons là Téquation de l'ellipse; ce qui nous apprend que la section du cylindre par un plan incliné à sa base est une ellipse.

451. Cette propriété du cylindre est bien moins remarquable que celles du cône dans lequel les anciens avaient aperçu les premiers le cercle , l'ellipse , l'hyperbole et la parabole ; c'est pour cette raison qu'ils appelaient les courbes du second ordre, sections coniques. Mais l'avantage qu'offre le cône de les rassembler, ainsi que la ligne droi|e, a bien perdu de son prix, depuis que la géométrie de Descartes a changé la face de la science , et qu'on a pu rattacher ces fameuses courbes à un système général. Nous verrons , en effet, que l'Algèbre les classe mieux , çt qu'elles sont toutes comprises dans l'équation complète du second ordre à deux inconnues, qui nous fournit même la preuve qu'il n'en peut exister d'autre dans cet ordre. C'est le sujet intéressant que nous allons traiter dans le chapitre suivant. ( Note seizième, )

INFLUENCE DES COEFFIC. DE l'fIqUAT. SUR LA COURBE. 287