CHAPITRE XXVIII

De Vwftuence des constantes y de V équation générale des courbes du second ordre sur la nature et la position de la courbe.

432. Les trois courbes que nous avons analysées sont comprises dans réquation générale

y,'^ =fmx -{- nx'^y (354)

qui nous donne Tellipse lorsque, dans le second membre, m seul est positif, car l'équation (173) de cette courbe rapportée au sommet (art. 270) , écrite fiinsi , en supprimant les accents,

est de même forme que l'équation

y 2 = mx — nx"^,

La formule générale donne l'hyperbole lorsque m seul est , dans le second membre , négatif, car l'équation (202) de l'hyperbole rapportée au sommet (art. 500), écrite ainsi, en supprimant les accents,

est comprise, dans l'équation

^ 2 = — mx -h /IJ?^.

Enfin l'équation (354) représente évidemment une parabolcf lorsque n=z Oy car elle se réduit à

j'=: mx^ .

qui est composée comme celle de la parabole (art. 517).

Mais il s'en faut de beaucoup que l'équation (354) ^^ toute la généralité possible; aussi n'avons-nous considéré l'ellipse, l'hyperbole et la parabole que dans des cas particuliers. Par exemple > nous avons toujours supposé que les deux premières de ces courbes avaient pour axe >des x une ligne qui , passant par le centre , partageait toutes les ordonnées en deux parties égales; nous n^avons pas considéré le cas oii cet axe ne passerait point par le centre , et même serait hors de la courbe : sous ces différents points de vue , les équations de ces courbes se compliquent , et nous allons prouver que l'équation générale du second degré à deux inconnues, dans ses modifications, renferme tous ces cas.

4i)5. Cette équation , dans son acception la plus étendue , peut être représentée par

Ar^-hB^74-0^-l-Dr-f-E^ + F = o. . . (355) En la résolvant par rapport à j, on trouve

± — v'(B»-'4AC)«'H-2(BD— 2AE)a:-t-D'— 4AF'

et^ en la résolvant par rapport à j'y on trouve

±:^\/(B^— 4AC)4-2(BE— 2CD)j-hE»— 4CFi

Simplifions-la d'abord en représentant la partie radicale par \/X, l'équation (356) deviendra

Faisant un instant abstraction de la partie radicale , nous n'au-