Lorsque F = o, l'équation (362) devient

O^ 4- Ex = o, et, décomposée en facteurs, peut se mettre sous cette forme

Pour savoir ce que signifie la première valeur, il faut se rappeler que, pour parvenir à l'équation (362), nous avons supposé ^ = o ; cette hypothèse subsistant toujours , la coïncidence des équations j = o , j? = o , montre que l'origine est sur la courbe . Le second facteur de Féquation (365)

nous donne x = — ~ ; ce qui nous annonce qu'à la distance

— - de l'origine , la courbe est rencontrée par l'axe des

abscisses. Cette distance — - se réduit à zéro lorsque E est

aussi nul , et l'on voit que , dans ce cas , l'axe des abscisses devient une tangente à la courbe.

462. Mais lorsque le seul coefficient E de l'équation (062) est nul , et que F et C sont de différents signes , l'équa-

INFLUENCE DES CSEFFIC. DE l'ÉQUAT. SUR LA COURBE. 2q3

don (363 ) se réduit à

et donne

Ces deux valeurs égales et de signes contraires de x montrent que l'origine est au milieu de la partie de Taxe des abscisses interceptée par la courbe.

463. Lorsque r équation (355) ne remplit pas la condition nécessaire pour que la courbe rencontre Taxe AB des abscisses (^g^.i68), cette courbe ne peut donc tomber qu'au-dessus ou Fig.igg. au-dessous de cet axe; par conséquent, en prenant une droite A'B' ou A''B'' qui coupe la courbe, et soit parallèle à AB y toutes les ordonnées construites sur AB différeront des ordonnées construites sur A'B' ou A''B", d'une quantité constante p, qui, suivant le cas, pourra être positive ou négative; de sorte qu'en faisant

p exprimera la différence PP' des ordonnées jr = PM et ^' = P'M, ou la différence PP" des ordonnées PMetf'M. Substituant donc j^' -I- p dans l'équation (355) , on aura

-^ D I H-Bp

Ap»

Dp F

et représentant par y le dernier terme, par e et par d les coefficients de j ' et de or , cette équation deviendra

Ay^ + B^ j' -{-Cjc^^dy -h ejc -h f=o (367)

La condition nécessaire pour que la courbe rencontre l'axe ,

^ f étant (d'après l'équation 364 > ^^^' ^^) ^^^ T7r^ — ^ ^^^ "°^

quantité positive, on pourra toujours disposer convenable-

2g4 THÉORIE DES COURBES DU SECOND ORDRE.

ment de p, qui entre dans e et dans/, pour que jj;-^ *— p^

soit une quantité positive. Alors la valeur de x^ qui correspond à j = G, aura (art. 460) ses deux racines réelles re* Fig.169. présentées {fig, 169) par les abscisses A'R, A'R'; et la courbe coupera le nouvel axe en deux points.

464. On peut maintenant ne plus considérer que le nouvel axe. Abandonnant Taxe primitif et Téquation (355) qui s'y rapporte y il nous sera permis de supprimer les accents , que nous n'avons donnés à y y dans l'équation (867), que pour distinguer ses ordonnées de celles qui étaient comptées sur Taxe primitif AX, dont il ne sera plus question, et Téquation (367) deviendra , en rétablissant les majuscules dans les trois der^ niers termes,

Aj'-f-Ba?^4-Gr'-hD7-|-Ea:H-F = Os... (368)

et pourra être regardée comme celle qui se rapporte (^^. 169) à Taxe A'X'« ( Note dix-huitième, )

465. Substituons dans l'équation (368) les yaleurs/'4- p =jr el x' -h a = or , nous trouverons

Ajr"H-B^r'-H

2Ap P

r'-hBp -|-2Ca

j/H-Ap»

-f-Bap -f-Ca-

-f-Dp

+ Ea H-F

Déterminant a et p par la condition que les coefficients de ar' et de y^ soient^uls, nous aurons entre a et p les équations

BàH- 2Ap-f- D= o,

Bp H- 2 Ca H- E = o ;

IirFLITENCE DES COEFFIC4 DE L'iQUAT. SUE LA COURBE. SgS

on tirera de ces équations